前言
相信你也跟我一样，在第一次接触线性代数的时候非常疑惑，什么是线性？而什么是代数呢？本篇文章将从最简单的n个方程 n个未知数的线性方程讲起，并探究其背后的几何含义。
正文
1.矩阵
如果你是一名工程专业的学生或是一名已经在职的工程师，你肯定会听到过矩阵（Matrix）的威名，是的，矩阵是我们解决工程问题时非常有用的数学工具，但是，什么是矩阵呢？其实不需要想的特别复杂，矩阵只是一个数字的矩形数组，例如我们有如下二元一次方程：
这个二元一次方程非常的简单，只要有初中数学基础就可以轻松驾驭，我们将未知数前面的系数单独拿出来是：2,-1,-1,2，然后将其从左往右，从上往下书写，然后在两边加上方括号就是：
OK，这就是一个两行两列的矩阵了，并且，因为他是由线性方程的系数中提取出来的，因此，我们也可以称之为系数矩阵。现在如果我告诉你是几行几列的矩阵，并告诉你一堆数字，相信你也可以完整地写出一个矩阵了！
例如我们现在有一个三元一次方程组，有三个方程，三个未知数（正如前言说的，我们只讨论n个方程，n个未知数），如下所示：
现在你可以快速地写出这个三元一次方程组的系数矩阵了吧（这里系数0被省略掉了）
没错这非常简单！
2.行图像
说完了矩阵的定义，我们正式解释一下线性方程组的几何含义，为什么叫线性代数而不是点性代数呢？其实很简单，我们一行一行地看系数矩阵，就相当于一行一行地看这个二元一次方程组：
不难发现每一行方程我们都可以画出其在二维坐标系下的图像，这个方程是一条过原点的直线，而显然不是，因为如果我们将带入方程并不等于，现在让我们绘制出这两条直线的图像（因为我们是一行一行看的，所以暂且叫他行图像吧）
此时我们已经可以初见端倪了，这个二元一次方程组的解是，而恰好两条直线的交点也是，换言之，我们解二元一次方程组其实就是在解两条线的交点，这也是为什么这门课叫线性代数，而不是其他什么乱七八糟代数，是不是有种豁然开朗的感觉！
那么我们再发散一下思维，刚刚我们还写了举例了一个三元一次方程组，这个要如何解释它的几何含义呢？嗯...这可能对于初学者来说有点难，那我们就来画个图吧。
我们知道二元一次方程可以用一条直线表示（方程的解可以理解为直线上的点），那三元一次方程我们该如何表示呢？现在我们在原有的二维坐标系上增加了一个维度，变成了三维坐标系，直线增加一个维度就变成了一个面，也就是说三元一次方程的解都在一个面上（无数个点构成了一个面）换句话说，我们可以用一个三维平面来表示一个三元一次方程，现在我们就可以来画图了。
我们的三元一次方程组中有三个方程，因此我们要绘制三个三维平面，这里我们使用计算机图形库（matplotlib库）来绘制这三个三维平面
通过消元法，我们可以得到这个三元一次方程组的解，然后我们再看图就会发现，三个三维平面的交点也恰好是，此时我们就大致了解了线性方程组的其中一个几何含义，也就是在求交点（你可能会好奇四元一次方程组和五元一次方程组如何表达，但是这对于我们目前来说有点太抽象，我们暂且放放）。
3.列图像
通过前面的讲解，相信你已经开始对这门学科有点点感觉了，接下来，我们将更近一步，使用另一个视角来看线性方程组，相信已经学过一遍的同学多多少少会有点懵，为啥讲完矩阵要讲向量，这向量为啥是一列一列的，现在，我们就从向量的角度思考问题。
这个是我们刚刚举例的二元一次方程组的系数矩阵，现在，我们将其一列一列拆开来，会得到两个向量（你可能会好奇为什么向量这么表示，但是目前你只需要知道，一列就代表一个向量，等你看完后面的知识你会豁然开朗），分别是：
然后我们将等式右边也看作为一个向量，就可以得到： 那么我们的表达式可以写成：
这个式子我们其实已经可以看出一些端倪了，如果我们把矩阵看作为一个向量，就好像是我们在凑一个倍的向量和倍的向量的使得他们之和为，如果不能理解的话，我们还是可以来画个图解释。
这里我们绘制了刚刚出现的三个向量，我们已经求过这个二元一次线性方程组的解了，是，这非常简单，现在让我们将一倍的Vector 1加上两倍的Vector 2，并且运用平行四边形法则，我们会发现正好是Vector 3，惊不惊喜？意不意外？什么？你还是无法理解？那我再画个图！
现在你就会发现其实刚刚那个二元一次方程组就是在解决一个倍的向量和倍的向量的使得他们之和为的问题，也就是我们在求一个线性组合，使得等式两边成立，并且，这也解释了，为什么我们可以把每一列都看成一个向量。
OK，探讨完二维向量，现在我们跟刚刚一样，将二维拓展为三维，也就是将二元一次线性方程组变为三元一次线性方程组，来验证我们刚刚的想法。
第一步，先把系数矩阵拆分为三个向量：
第二步，把等式右边也变为向量：
然后将它们在三维空间中表达出来：
这种情况比较特殊，Vector 4与Vector 3重合了，也就是说，我们想要得到Vector 4只需要一倍的Vector 3就行了，Vector 1和Vector 2都不需要，这时我们也就得到了这个三元一次方程组的解
至此，我们从两个角度分别对线性方程的几何意义进行了探讨，这些知识将对我们日后的学习打下坚实的基础！！
4.矩阵的乘法（2024.12.11补充）
有了刚刚的铺垫，我们不妨来探讨一下矩阵的乘法运算，大学老师告诉我们矩阵的乘法就是行与列相乘，例如，我们将如下两个矩阵相乘：
我们使用常规的方法很快就可以得到这两个矩阵的相乘的答案。
答案是：
这就是我们大学线代课上接触到的矩阵乘法运算。
接下来让我们换一种思路，从向量的角度来解释矩阵的乘法，我们知道我们求的和可以表示为向量的倍数，那不就简单了吗？我们可以把第一个矩阵拆成两个向量，而第二个矩阵的第一行是第一个向量的倍数，第二行是第二个向量的倍数，就跟我们之前探讨列图像时的式子是一样的。
我们把刚刚的矩阵相乘变换一下就会得到：
然后行跟行加，列跟列加，就可以得到如下式子：
有没有发现，跟我们常规的运算式子是一样的，无非就是交换了位置，最后，我们也得到了答案：
你现在肯定非常吃惊，这还是我初中学的线性方程组吗！这还是我学的那个矩阵乘法运算吗！不知道你是不是，反正我看完MIT的线代课，就有这种醍醐灌顶的感觉。
最后
这个系列是我希望通过费曼学习法来更好地巩固学习线性代数，如果有表述上的错误可以私信我，不胜感激！！ B站：ZaneYooo 知乎：ZaneYooo CSDN：ZaneYooo 稀土掘金：ZaneYooo 微信公众号（建设中） 希望你可以跟我一起构建起强大的知识体系，畅游在知识的海洋，改变世界改变自己！！！
