前言
threejs对于矩阵的封装很完善，大家平时在开发3d应用其实是很少直接用到矩阵的，除非需要进行复杂的位置计算或者二次封装。但是我们经常使用的api的实现几乎都使用到了矩阵。
比如
-
透视/正交相机
- 透视投影矩阵/正交投影矩阵 （参考我之前的文章：透视相机原理解析）
-
旋转/平移/缩放
- 旋转矩阵/平移矩阵/缩放矩阵（参考我之前的文章：旋转、平移、缩放原理解析）
-
内置的material
- 顶点着色器的矩阵运算（）
-
以及各种位置运算,例如buffergeometry的position，webgl的uniform等等......
什么是矩阵
用我自己的话总结就是俩个方面
- 解方程
- 大学的线性代数与数理统计
- 位置变换
大家在学习矩阵时，只需要对大学学的线代简单回顾一下就好，主要回顾的点有：
- 矩阵运算
- 单位矩阵
- 转置矩阵
- 伴随矩阵
- 逆矩阵
- 仿射变换
ThreeJs中的矩阵
投影矩阵和平移旋转缩放矩阵不多赘述，不了解的可以参考本文前言中的链接自行查看
1. 物体渲染流程
-
对象空间（Object Space） ：
- 这是每个对象的局部坐标系，用于定义对象的顶点位置。每个对象（如立方体、球体等）在创建时，其顶点位置都是相对于这个局部坐标系的。
-
世界空间（World Space） ：
- 这是全局坐标系，所有对象都在这个空间中存在。当我们将对象添加到场景中并对其进行变换（如平移、旋转、缩放）时，这些变换都是在世界空间中进行的。
-
视图空间（View Space） ：
- 这是相对于相机的坐标系。视图空间通过相机的变换来定义，即将世界空间中的所有对象变换到相机的视角。
-
屏幕空间（Screen Space） ：
- 所有 3D 变换最终都会投影到这个 2D 空间中，具体的投影矩阵根据所选相机不同而不同，透视投影相机就是透视投影矩阵，正交投影相机就是正交矩阵
2. MVP 矩阵
在顶点着色器中，模型、视图和投影矩阵通常会组合成一个 MVP 矩阵，用于将顶点位置从对象空间直接变换到屏幕空间。
3. 法线矩阵
用于变换法向量，通常使用视图和模型矩阵的逆 transpose 来处理，以确保法向量在变换后仍然正确。
源码解析
源码地址： threejs-matrix4
源码中的方法大多是对矩阵运算的封装，大家可以回顾一下大学所学线代，即可发现源码看似花里胡哨，实际上通俗易懂，回顾内容参考【什么是矩阵】段落所提及的概念。
1. contructor
ps: threejs矩阵的存储方式默认是列优先,而在我们大学线代中的矩阵是行优先。 three的数据类型中没有矩阵（mat），所以他用数组来模拟矩阵，可以看出set方法中并不是按照数组顺序进行依次set，他是按照列的顺序，即先set第一列，第二列..., 依此类推至第四列
constructor( n11, n12, n13, n14, n21, n22, n23, n24, n31, n32, n33, n34, n41, n42, n43, n44 ) {
Matrix4.prototype.isMatrix4 = true;
this.elements = [
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 1
];
......
}
set( n11, n12, n13, n14, n21, n22, n23, n24, n31, n32, n33, n34, n41, n42, n43, n44 ) {
const te = this.elements;
te[ 0 ] = n11; te[ 4 ] = n12; te[ 8 ] = n13; te[ 12 ] = n14;
te[ 1 ] = n21; te[ 5 ] = n22; te[ 9 ] = n23; te[ 13 ] = n24;
te[ 2 ] = n31; te[ 6 ] = n32; te[ 10 ] = n33; te[ 14 ] = n34;
te[ 3 ] = n41; te[ 7 ] = n42; te[ 11 ] = n43; te[ 15 ] = n44;
return this;
}
2. identity
将当前矩阵重置为单位矩阵
identity() {
this.set(
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 1
);
return this;
}
3. multiplyMatrices
矩阵乘法运算公式，参考线代计算逻辑
multiplyMatrices( a, b ) {
const ae = a.elements;
const be = b.elements;
const te = this.elements;
const a11 = ae[ 0 ], a12 = ae[ 4 ], a13 = ae[ 8 ], a14 = ae[ 12 ];
const a21 = ae[ 1 ], a22 = ae[ 5 ], a23 = ae[ 9 ], a24 = ae[ 13 ];
const a31 = ae[ 2 ], a32 = ae[ 6 ], a33 = ae[ 10 ], a34 = ae[ 14 ];
const a41 = ae[ 3 ], a42 = ae[ 7 ], a43 = ae[ 11 ], a44 = ae[ 15 ];
const b11 = be[ 0 ], b12 = be[ 4 ], b13 = be[ 8 ], b14 = be[ 12 ];
const b21 = be[ 1 ], b22 = be[ 5 ], b23 = be[ 9 ], b24 = be[ 13 ];
const b31 = be[ 2 ], b32 = be[ 6 ], b33 = be[ 10 ], b34 = be[ 14 ];
const b41 = be[ 3 ], b42 = be[ 7 ], b43 = be[ 11 ], b44 = be[ 15 ];
te[ 0 ] = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 + a14 * b41;
te[ 4 ] = a11 * b12 + a12 * b22 + a13 * b32 + a14 * b42;
te[ 8 ] = a11 * b13 + a12 * b23 + a13 * b33 + a14 * b43;
te[ 12 ] = a11 * b14 + a12 * b24 + a13 * b34 + a14 * b44;
te[ 1 ] = a21 * b11 + a22 * b21 + a23 * b31 + a24 * b41;
te[ 5 ] = a21 * b12 + a22 * b22 + a23 * b32 + a24 * b42;
te[ 9 ] = a21 * b13 + a22 * b23 + a23 * b33 + a24 * b43;
te[ 13 ] = a21 * b14 + a22 * b24 + a23 * b34 + a24 * b44;
te[ 2 ] = a31 * b11 + a32 * b21 + a33 * b31 + a34 * b41;
te[ 6 ] = a31 * b12 + a32 * b22 + a33 * b32 + a34 * b42;
te[ 10 ] = a31 * b13 + a32 * b23 + a33 * b33 + a34 * b43;
te[ 14 ] = a31 * b14 + a32 * b24 + a33 * b34 + a34 * b44;
te[ 3 ] = a41 * b11 + a42 * b21 + a43 * b31 + a44 * b41;
te[ 7 ] = a41 * b12 + a42 * b22 + a43 * b32 + a44 * b42;
te[ 11 ] = a41 * b13 + a42 * b23 + a43 * b33 + a44 * b43;
te[ 15 ] = a41 * b14 + a42 * b24 + a43 * b34 + a44 * b44;
return this;
}
4. invert
求当前矩阵的逆矩阵，看似很复杂实则套公式
逆矩阵 = 伴随矩阵A* / A的行列式|A|
invert() {
// based on http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/matrix/functions/inverse/fourD/index.htm
const te = this.elements,
n11 = te[ 0 ], n21 = te[ 1 ], n31 = te[ 2 ], n41 = te[ 3 ],
n12 = te[ 4 ], n22 = te[ 5 ], n32 = te[ 6 ], n42 = te[ 7 ],
n13 = te[ 8 ], n23 = te[ 9 ], n33 = te[ 10 ], n43 = te[ 11 ],
n14 = te[ 12 ], n24 = te[ 13 ], n34 = te[ 14 ], n44 = te[ 15 ],
t11 = n23 * n34 * n42 - n24 * n33 * n42 + n24 * n32 * n43 - n22 * n34 * n43 - n23 * n32 * n44 + n22 * n33 * n44,
t12 = n14 * n33 * n42 - n13 * n34 * n42 - n14 * n32 * n43 + n12 * n34 * n43 + n13 * n32 * n44 - n12 * n33 * n44,
t13 = n13 * n24 * n42 - n14 * n23 * n42 + n14 * n22 * n43 - n12 * n24 * n43 - n13 * n22 * n44 + n12 * n23 * n44,
t14 = n14 * n23 * n32 - n13 * n24 * n32 - n14 * n22 * n33 + n12 * n24 * n33 + n13 * n22 * n34 - n12 * n23 * n34;
const det = n11 * t11 + n21 * t12 + n31 * t13 + n41 * t14;
if ( det === 0 ) return this.set( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 );
const detInv = 1 / det;
te[ 0 ] = t11 * detInv;
te[ 1 ] = ( n24 * n33 * n41 - n23 * n34 * n41 - n24 * n31 * n43 + n21 * n34 * n43 + n23 * n31 * n44 - n21 * n33 * n44 ) * detInv;
te[ 2 ] = ( n22 * n34 * n41 - n24 * n32 * n41 + n24 * n31 * n42 - n21 * n34 * n42 - n22 * n31 * n44 + n21 * n32 * n44 ) * detInv;
te[ 3 ] = ( n23 * n32 * n41 - n22 * n33 * n41 - n23 * n31 * n42 + n21 * n33 * n42 + n22 * n31 * n43 - n21 * n32 * n43 ) * detInv;
te[ 4 ] = t12 * detInv;
te[ 5 ] = ( n13 * n34 * n41 - n14 * n33 * n41 + n14 * n31 * n43 - n11 * n34 * n43 - n13 * n31 * n44 + n11 * n33 * n44 ) * detInv;
te[ 6 ] = ( n14 * n32 * n41 - n12 * n34 * n41 - n14 * n31 * n42 + n11 * n34 * n42 + n12 * n31 * n44 - n11 * n32 * n44 ) * detInv;
te[ 7 ] = ( n12 * n33 * n41 - n13 * n32 * n41 + n13 * n31 * n42 - n11 * n33 * n42 - n12 * n31 * n43 + n11 * n32 * n43 ) * detInv;
te[ 8 ] = t13 * detInv;
te[ 9 ] = ( n14 * n23 * n41 - n13 * n24 * n41 - n14 * n21 * n43 + n11 * n24 * n43 + n13 * n21 * n44 - n11 * n23 * n44 ) * detInv;
te[ 10 ] = ( n12 * n24 * n41 - n14 * n22 * n41 + n14 * n21 * n42 - n11 * n24 * n42 - n12 * n21 * n44 + n11 * n22 * n44 ) * detInv;
te[ 11 ] = ( n13 * n22 * n41 - n12 * n23 * n41 - n13 * n21 * n42 + n11 * n23 * n42 + n12 * n21 * n43 - n11 * n22 * n43 ) * detInv;
te[ 12 ] = t14 * detInv;
te[ 13 ] = ( n13 * n24 * n31 - n14 * n23 * n31 + n14 * n21 * n33 - n11 * n24 * n33 - n13 * n21 * n34 + n11 * n23 * n34 ) * detInv;
te[ 14 ] = ( n14 * n22 * n31 - n12 * n24 * n31 - n14 * n21 * n32 + n11 * n24 * n32 + n12 * n21 * n34 - n11 * n22 * n34 ) * detInv;
te[ 15 ] = ( n12 * n23 * n31 - n13 * n22 * n31 + n13 * n21 * n32 - n11 * n23 * n32 - n12 * n21 * n33 + n11 * n22 * n33 ) * detInv;
return this;
}
5. transpose
求当前矩阵的转置矩阵 何为转置， 即行列调换，例如第一行变为第一列，依此类推
transpose() {
const te = this.elements;
let tmp;
tmp = te[ 1 ]; te[ 1 ] = te[ 4 ]; te[ 4 ] = tmp;
tmp = te[ 2 ]; te[ 2 ] = te[ 8 ]; te[ 8 ] = tmp;
tmp = te[ 6 ]; te[ 6 ] = te[ 9 ]; te[ 9 ] = tmp;
tmp = te[ 3 ]; te[ 3 ] = te[ 12 ]; te[ 12 ] = tmp;
tmp = te[ 7 ]; te[ 7 ] = te[ 13 ]; te[ 13 ] = tmp;
tmp = te[ 11 ]; te[ 11 ] = te[ 14 ]; te[ 14 ] = tmp;
return this;
}
6. determinant
求该矩阵的行列式
公式：行列式值等于任意一行所有元素与其代数余子式乘积的和得出
determinant() {
const te = this.elements;
const n11 = te[ 0 ], n12 = te[ 4 ], n13 = te[ 8 ], n14 = te[ 12 ];
const n21 = te[ 1 ], n22 = te[ 5 ], n23 = te[ 9 ], n24 = te[ 13 ];
const n31 = te[ 2 ], n32 = te[ 6 ], n33 = te[ 10 ], n34 = te[ 14 ];
const n41 = te[ 3 ], n42 = te[ 7 ], n43 = te[ 11 ], n44 = te[ 15 ];
//TODO: make this more efficient
//( based on http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/matrix/functions/inverse/fourD/index.htm )
return (
n41 * (
+ n14 * n23 * n32
- n13 * n24 * n32
- n14 * n22 * n33
+ n12 * n24 * n33
+ n13 * n22 * n34
- n12 * n23 * n34
) +
n42 * (
+ n11 * n23 * n34
- n11 * n24 * n33
+ n14 * n21 * n33
- n13 * n21 * n34
+ n13 * n24 * n31
- n14 * n23 * n31
) +
n43 * (
+ n11 * n24 * n32
- n11 * n22 * n34
- n14 * n21 * n32
+ n12 * n21 * n34
+ n14 * n22 * n31
- n12 * n24 * n31
) +
n44 * (
- n13 * n22 * n31
- n11 * n23 * n32
+ n11 * n22 * n33
+ n13 * n21 * n32
- n12 * n21 * n33
+ n12 * n23 * n31
)
);
}
总结
矩阵在 Three.js 中主要用于表示和执行各种变换，确保三维物体正确渲染到二维屏幕。理解矩阵的概念和用法是掌握 Three.js 和计算机图形学的基础。通过矩阵的组合使用，可以实现复杂的三维场景渲染和变换。
matrix4源码看似很复杂，实则只是套公式，在看这部分源码前必须要先了解矩阵的基本概念和运算公式，之后必定事半功倍
