稀疏知识点总结 | 数据结构与算法

安知鱼
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一.绪论

  1. 数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位

  2. 数据元素是数据的基本单位

  3. 数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

  4. 一个数据元素可由若干个数据项组成

  5. 算法的特性：

    • 有穷性
    • 确定性
    • 可行性
    • 输入
    • 输出

  6. 数据结构包括三方面的内容： 逻辑结构、存储结构和数据的运算

    • 逻辑结构包括 线性结构和非线性结构
      • 线性结构包括 线性表 （一般线性表、栈、队列、串、数组）
      • 非线性结构包括 集合、树形结构、图形结构或网状结构

线性表

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栈

  1. n个不同元素进栈，出栈元素不同排列的个数为 CmnC_m^n/（n+1） 其中 m = 2n

  2. 对于共享栈 top0 + 1 = top1 image.png

  3. 链栈相比于顺序栈的优点

    • 链栈的优点是便于多个栈共享存储空间和提高其效率，且不存在栈满的情况

  4. 将一个递归算法改为对应的非递归算法时，通常需要使用（栈）

  5. 栈能适用于递归算法，表达式求值以及括号匹配等问题

队列

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队列是一种操作受限的线性表，它与栈不同的是，队列中所有的插入操作均限制在表的一端进行，而所有的删除操作均被限制在另一端进行，允许插入的一段称为队尾，允许删除的一段称为队首，队列具有先进先出的特点

循环队列

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树

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  1. 树中的结点数等于所有结点的度数加1
  2. 度为m的树中第i层上至多有m2i-1个结点
  3. 高度为h的m叉树至多有(mh-1)/(m-1)个结点
  4. 具有n个结点的m叉树的最小高度为[logm(n(m-1)+1)]
  5. 什么是树的度？ 所有结点度中的最大值

二叉树

  • 平衡二叉树（AVL） ： 树上任一结点的左子树和右子树的深度之差绝对值不超过1
  • 线索二叉树 ： 加上线索的二叉树

二叉树的性质

  • 非空二叉树上的叶子结点等于度为2的结点数加1，即n0=n2+1
  • 非空二叉树上第k层上至多有2k-1个结点
  • 高度为h的二叉树至多有2k-1个结点
  • 在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域，含有n-1个非空链域

完全二叉树

  • 完全二叉树的度为1的结点的个数最多为1个
  • 完全二叉树的双亲结点为 [i/2] -> 向下取整
  • 具有n个结点的完全二叉树的深度必为[log2n]＋1
  • 具有n(n>0)个结点的完全二叉树的高度为[log2(n+1)]或[log2n]+1
  • 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2。

树的遍历

  1. 先根遍历的顺序和对应二叉树的先序遍历是一致的

    后根遍历的顺序和对应二叉树的中序遍历是一致的

二叉树的遍历

  • 若二叉树中各节点的值均不相同，则：
    • 由二叉树的前序序列和中序序列，或由其后序序列和中序序列均能唯一地确定一棵二叉树
    • 由前序序列和后序序列却不一定能唯一地确定一棵二叉树。

哈夫曼树

  1. 概念：

    • 带权路径长度： 结点到根的路径长度与结点上权的乘积
    • 树的带权路径长度： 树中所有叶子结点的带权路径长度之和
    • 哈夫曼树： 带权路径长度最小的树

  2. 一棵有n个叶子结点的Huffman树有（2n-1）个结点

森林的遍历

  1. 先序遍历： 先根后子树
  2. 中序遍历： 先子树后根
  3. 森林的先序遍历序列和对应二叉树的先序遍历顺序是一致的 森林的中序遍历序列和对应二叉树的中序遍历顺序是一致的

二叉排序树

  1. 向二叉排序树中插入一个新节点时，新结点一定会成为二叉排序树的一个叶子节点
  2. 二叉排序树删除：若结点有左右两棵子树，则令该结点的直接后继（直接前驱）代替该结点，然后从二叉排序树中删除这个直接后继（直接前驱），就转化成了前两种情况

图

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  1. 网： 带权的图称为网
  2. 极小连通子图：该子图是G 的连通子图，在该子图中删除任何一条边，子图不再连通。
  3. 包含图G所有顶点的极小连通子图（n-1条边）
  4. DFS：深度优先搜索
  5. BFS：广度优先搜索

最小生成树

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Prim（普里姆）算法

  • 归并顶点，与边数无关，适于稠密网。

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

  • 归并边，适于稀疏网。

最短路径

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Dijkstra算法

  • 时间复杂度：O(n2)

弗洛伊德算法

  • 时间复杂度：O(n3)

图的存储结构

邻接矩阵法

  • 特点
    1. 适合稠密图

邻接表法

  • 特点

    1. 若G为无向图，则所需的存储空间为O(|V| + 2|E|)

      若G为有向图，则所需的存储空间为O(|V| + |E|)

    2. 对于稀疏图，采用邻接表表示能极大地节省空间

    3. 图的邻接表表示不唯一

    4. 在有向图的邻接表表示中，求一个给定顶点的出度只需计算其邻接表中的结点个数

查找

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  1. 平均搜索长度ASL

顺序表的查找

顺序查找

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折半查找

非递归算法

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递归算法

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性能分析

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二叉排序树

  • 中序遍历二叉排序树后的结果是一个递增的有序数列

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  • 二叉排序树插入的结点一定在叶子节点上

  • 二叉排序树的删除操作 image.png

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  • 二叉排序树的平衡

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哈希查找

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排序

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插入排序

直接插入排序

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折半插入排序

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希尔排序

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交换排序

冒泡排序

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快速排序

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  • 快速排序最好时间复杂度：nlog2n
  • 快速排序最坏时间复杂度：n2

选择排序

简单选择排序

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树形选择排序

堆排序

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归并排序

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