傅里叶变换是什么
傅里叶变换是一个高数中比较难的知识点。在我学习高数的时候，这一块我当时并没有学会，现在我通过努力的寻找资料，总算沙里淘金大致弄明白了。我简单描述一下自己重新掌握的傅里叶变换。
所谓的傅里叶变换就是把一个函数分解成三角函数的形式。在声学上来说，就是把一段不同频率和强度的揉在一起的声音，分开来，比如把不同的乐器的声音分离，歌声和背景音分离，把不同说话人声音分离等等。
傅里叶变换重点在于不同分量上分解。
先看一个通俗的例子：
初次之外，不同的材料放入的时间不同，这就是相位。
下面这张表，左图说明了放入的频率，右图说明了第一次放入的时机，用傅里叶变换来说，这叫做相位。
我们可以以频率的角度来看时间空间的操作：
从频率角度看，世界是静止的。
上面那个图叫做时域图，下面这个叫做频率图。
所以，傅里叶变换的重点在于，分解，换个角度去分解。
接下来的难点在于如何分解：
举个例子：在平面坐标系上，可以分解一个向量为x轴和y轴的分量。
傅里叶变换也同样如此。
比如下面这个波，我们要需要找到一些坐标轴，这里我们选取的是 cosx, cos2x, cos3x,...等不同频率的余弦波。他们都是正交的
我们要做的就是把这个曲线切成一段一段的，然后和cosx做内积。
内积是一个线性代数的概念。（这里不展开）
内积的结果就是这个曲线在cosx上的分量，也就是曲线的振幅。
对于cos2x，cos3...同理。
这里补充一个知识，为什么cosx，cos2x, cos3x,等等都是正交的？下面这段话通过微积分的形式展示了过程：
实际上，波的正交关系（Orthogonality of Waves）是指两个或多个波在特定条件下互不干扰，即它们之间没有能量交换。具体来说，在数学和物理学中，当两个函数（可以是时间域或频率域中的波形）的内积为零时，我们说这两个函数是正交的。对于周期函数或波形，这通常意味着在一个完整周期内的积分结果为零。
在通信工程中，正交性被广泛应用于多载波调制技术，如正交频分复用（OFDM, Orthogonal Frequency Division Multiplexing）。在这种情况下，多个载波信号被设计成彼此正交，这样即使它们在频谱上相互重叠，也可以在接收端被准确地分离出来，从而有效地减少信道间干扰（ICI, Inter-Carrier Interference），提高频谱利用率。
例如，在OFDM系统中，各个子载波的频率间隔被精心选择，以确保所有子载波都是正交的。这意味着每个子载波上的信息可以在接收端通过傅里叶变换等方法被单独解码，而不会受到其他子载波的影响。这种正交性允许在同一物理信道上传输大量并行的数据流，大大增加了数据传输速率。 在二维或多维空间中，正交的概念还可以扩展到向量。如果两个向量的点积（内积）为零，则称这两个向量正交。在量子力学中，粒子的状态可以用波函数表示，不同的波函数如果满足正交条件，那么这些状态也是线性独立的，也就是说，一个状态不能由另一个状态的线性组合来描述，这保证了不同量子态之间的区分度。
总之，波的正交关系是一个非常重要的概念，它不仅有助于理解波与波之间的相互作用，还在许多实际应用中发挥着关键作用，特别是在通信、信号处理和量子力学等领域。
继续回到傅里叶变换，我们完成在 一个曲线从cos1x到cos100x的分解之后，也大致能描述一个波的轮廓了。加上不同分量上波的相位，就几乎可以完美复刻一个波，完成了从复杂的无规律的曲线到有规律的波的分解。
fourier-transform.gamelet.online/
参考
以上知识主要来自两个视频，是我在B站发现的最通俗易懂的讲解傅里叶变换的视频：
