引言
在计算机科学中，递归是一种强大的编程技巧，它允许函数直接或间接地调用自身来解决问题。递归不仅能够使代码更加简洁优雅，还能帮助我们解决一些复杂的问题，如树和图的遍历、搜索问题等。本文将从递归的基本概念出发，通过LeetCode上的实际题目来探讨递归的应用，并推荐一些进阶题目供读者挑战。
什么是递归？
基本定义
递归是指程序调用自身的编程方法。递归通常包括两个部分：「基准情形」（base case）和**「递归步骤」**（recursive step）。基准情形是递归算法可以直接求解的最简单情况；而递归步骤则是将问题分解成更小规模的子问题，然后调用自身来解决这些子问题。
如何使用递归
使用递归时，最重要的是确定问题可以被分解成相似的子问题，并且这些子问题最终可以简化到基准情形。编写递归函数的关键在于：
- 「明确基准情形」：确定最简单的情况，该情况下不需要进一步的递归调用就能得到结果。
- 「定义递归步骤」：假设较小规模的问题已经被解决，定义如何利用这些解决方案来构建当前问题的解。
- 「避免无限递归」：确保每次递归调用都能向基准情形靠近，否则可能导致栈溢出错误。
使用场景
递归适用于那些可以通过分解成相同类型的子问题来解决的情况，例如：
- 数学问题：如计算阶乘、斐波那契数列等。
- 数据结构操作：如二叉树的遍历、查找等。
- 搜索问题：如回溯法解决八皇后问题、迷宫问题等，即图的深度优先搜索(DFS)。
- 分治算法问题：如归并排序、快速排序。
LeetCode实战：递归算法应用
入门题目 - 509. 斐波那契数
题目描述
给定 n ，请计算第 n 个斐波那契数。斐波那契数列的定义如下：
- F(0) = 0, F(1) = 1
- F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，对于 n > 1
Java代码实现
public class Solution {
public int fib(int N) {
if (N <= 1) {
return N;
}
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
}
解题思路
这个例子展示了递归的基本结构。我们首先检查是否达到了基准情形（N <= 1），如果是，则直接返回结果。如果不是，则将问题分解为两个较小的子问题（fib(N - 1) 和 fib(N - 2)），并假设这两个子问题已经被解决。
中等难度题目 - 104. 二叉树的最大深度
题目描述
给定一个二叉树，找出其最大深度。一棵二叉树的最大深度是从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
Java代码实现
public class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
TreeNode(int x) { val = x; }
}
public class Solution {
public int maxDepth(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
} else {
int leftDepth = maxDepth(root.left);
int rightDepth = maxDepth(root.right);
return Math.max(leftDepth, rightDepth) + 1;
}
}
}
解题思路
此题中，我们首先判断根节点是否为空，如果为空则返回0，表示这是一棵空树。如果不为空，则分别计算左子树和右子树的最大深度，并取两者中的较大值加1作为整棵树的最大深度。这里同样体现了递归的思想，即通过处理更小的子问题来解决原始问题。
更多递归题目推荐
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- 70. 爬楼梯
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- 101. 对称二叉树
- 144. 二叉树的前序遍历
- 145. 二叉树的后序遍历
- 226. 翻转二叉树
- 236. 二叉树的最近公共祖先
结语
递归是一种强大的工具，能够帮助我们解决很多复杂的问题。虽然递归可能导致较高的时间和空间复杂度，但通过适当的优化，如记忆化搜索，我们可以有效地减少不必要的重复计算。希望本文能为您打开一扇通往递归世界的大门，祝您编程愉快！
