一、问题理解
这个问题聚焦于计算将一个受损 DNA 序列（dna1）转换为未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。给定的编辑操作包括增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。例如在样例 1 中，将 “AGT” 转换为 “AGCT” 只需要增加一个碱基 “C”，所以输出为 1。
二、问题分析
- 暴力解法的局限性
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- 最直接的想法可能是尝试所有可能的编辑操作组合，然后找出其中所需步骤最少的方案。然而，这种暴力解法在 DNA 序列较长时，会产生指数级增长的可能性组合，计算量巨大，几乎不可行。
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- 比如对于较长的 DNA 序列，可能的增加、删除和替换操作的组合数量会非常庞大，遍历所有这些组合将耗费大量的时间和计算资源。
- 动态规划的思路
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- 考虑使用动态规划的方法来解决这个问题。动态规划的关键是将一个大问题分解为多个重叠的小问题，并保存小问题的解以避免重复计算。
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- 定义状态：设dp[i][j]表示将 dna1 的前i个碱基转换为 dna2 的前j个碱基所需的最少编辑步骤。
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- 状态转移方程：
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- 如果 dna1 的第i个碱基和 dna2 的第j个碱基相同，即dna1[i - 1] == dna2[j - 1]，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]，因为不需要进行编辑操作。
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- 如果不同，则有三种可能的操作：
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- 删除操作：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1，表示删除 dna1 的第i个碱基，然后将 dna1 的前i - 1个碱基转换为 dna2 的前j个碱基，再加上当前的删除操作一步。
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- 增加操作：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1，表示在 dna1 的前i个碱基后增加一个碱基使其与 dna2 的第j个碱基相同，然后将 dna1 的前i个碱基转换为 dna2 的前j - 1个碱基，再加上当前的增加操作一步。
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- 替换操作：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1，表示将 dna1 的第i个碱基替换为与 dna2 的第j个碱基相同，然后将 dna1 的前i - 1个碱基转换为 dna2 的前j - 1个碱基，再加上当前的替换操作一步。
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- 最终dp[i][j]取这三种操作中的最小值。
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- 边界条件：当i == 0时，即 dna1 为空，需要进行j次增加操作才能转换为 dna2，所以dp[0][j] = j；当j == 0时，即 dna2 为空，需要进行i次删除操作才能将 dna1 转换为空，所以dp[i][0] = i。
三、代码实现要点
- 初始化
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- 创建一个二维数组dp，大小为(len(dna1) + 1) * (len(dna2) + 1)，用于存储状态值。
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- 根据边界条件初始化dp数组的第一行和第一列，表示当一个序列为空时转换为另一个序列所需的编辑步骤数。
- 动态规划计算
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- 遍历dp数组，从i = 1和j = 1开始，根据状态转移方程计算每个位置的值。
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- 在计算过程中，比较三种操作的结果，取最小值作为当前位置的状态值。
- 返回结果
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- 计算完成后，dp[len(dna1)][len(dna2)]即为将 dna1 转换为 dna2 所需的最少编辑步骤数，返回这个值作为结果。
四、学习收获与拓展
- 学习收获
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- 通过这个问题，深入理解了动态规划在解决序列编辑问题中的应用。学会了如何根据问题定义状态、推导状态转移方程以及处理边界条件，以高效地求解最优化问题。
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- 认识到动态规划在处理复杂问题时的优势，通过保存中间结果避免了重复计算，大大提高了计算效率。
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- 同时，也锻炼了对问题的抽象和建模能力，能够将实际问题转化为数学模型，并通过代码实现来求解。
- 拓展思考
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- 如果增加一种编辑操作，比如可以同时交换两个相邻的碱基，应该如何修改算法？
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- 如果有多个受损 DNA 序列需要转换为同一个未受损序列，如何找到一个通用的编辑策略使得总编辑步骤最少？
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- 这个问题还可以与其他算法和数据结构相结合，比如使用贪心算法进行初步优化，或者在计算过程中结合哈希表来快速判断碱基是否相同，以进一步提高算法效率。
总之，通过对这个 DNA 序列编辑问题的学习，不仅掌握了解决特定问题的方法，还拓展了算法思维和问题解决能力，为解决更复杂的编程问题提供了有益的经验和启示。
