一文掌握方差分析：因果推断的统计学基础

方差分析用途

方差分析，用于比较「类别型特征」的不同分类在「连续型特征」上的均值，是否存在显著差异。有两点需要注意：【1.】类别型特征不同分类的类别数>=3。如果特征“不同分组”的类别数=2，使用t检验，可以把方差分析看作t检验的延伸。【2.】在连续型特征上的均值，是否存在显著差异。K个分类，用假设检验的语言描述就是：

原假设： $H_0:\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_K$

备择假设： $H_1:\mu_1\mathrm{~、~}\mu_2\mathrm{~、...、~}\mu_K$不全相等

均值 $\mu_1\mathrm{~、}\mu_2\mathrm{~、...、}\mu_K$ 不全相等，也就是有些类别的均值可以相等，但是，只要有一个类别的均值和其余类别的不相等，就可以拒绝原假设，接收备择假设。

例如，微信视频号上的视频分区，分为科学区、娱乐区、生活区，比较不同分区的视频播放量平均值差异。这里，视频分区就是一个「类别型特征」，视频播放量就是一个「连续值特征」，科学区、娱乐区、生活区就是类别型特征的「不同分类」，比较不同分区的视频播放量平均值差异，对应的原假设：不同分区的视频播放量的平均值全相等，备择假设：不同分区的视频播放量的平均值不全相等。

此外，在做方差分析时，要求不同分类的个体之间是相互独立的，就是每个分类包含的样本，与另外的分组包含的样本之间是没有任何关联的。

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如何做方差分析

将数据「整体波动」SST分成两部分：「组内波动」SSW和「组间波动」SSB，通过比较这两种波动，可以判断各类别的均值是不是相等的，即SST=SSW+SSB。「整体波动」是指包含各个类别，数据的波动情况。「组内波动」是指某一类别内，数据的波动情况。「组间波动」是指不同类别间，数据的波动情况。数据的波动情况，指的是某个连续型特征平均值的离散程度。

情况1：

各个分区组内的视频播放量都相等，即组内波动SSW=0，则有整体波动SST=组间波动SSB。

情况2：

各个分区的数据分布一样，即组间波动*SSB*=0，则有整体波动*SST*=组内波动*SSW*。由此可见：（1.）组内波动*SSW*在整体波动*SST*中的占比越大，组间波动*SSB*在整体波动*SST*中的占比越小，各组均值相等的可能性越大。（2.）组内波动*SSW*在整体波动*SST*中的占比越小，组间波动*SSB*在整体波动*SST*中的占比越大，各组均值相等的可能性越小。

问题是，组间波动SSB要在整体波动SST中的占比多大，才算大呢？ 通过构造F统计量，判断组间波动SSB在整体波动SST中的占比，是否足够大，大到可以拒绝原假设。

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方差分析计算流程

第一步，分别计算整体波动SST、组内波动SSW、组间波动SSB。

                                          $\begin{gathered} SST=\sum_{i=1}^n(x_i-\text{整体均值 }\overline{X})^2 \\ SSW=\sum_{g_j=1}^K\sum_{i\in g_j}\mathrm{(}x_i-\text{组内均值 }\overline{x_i})^2 \\ SSB=\sum_{g_j=1}^K\sum_{i\in g_j}\text{(组内均值 }\overline{x_i}-\text{ 整体均值 }\overline{X})^2 \end{gathered}$

第二步，构造F统计量。

                                                      $F\text{ 统计量}=\frac{\text{卡方分布}_1\text{ / 自由度}_1}{\text{卡方分布}_2\text{ / 自由度}_2}$

若n个相互独立的随机变量$x_1,x_2,\ldots,x_n$均服从标准正态分布，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。 自由度就是计算某一个指标时，使用的能够贡献信息的样本数。 当$x_i$是服从正态分布的随机变量，所以，可以构造

                              $F\text{ 统计量}=\frac{\text{组间波动 }SSB/df(\text{组间})}{\text{组内波动 }SSW/df(\text{组内})}=\frac{\text{组间波动 }SSB/(\text{分组数 }-1)}{\text{组内波动 }SSW/\sum_\text{分组数}{(\text{每组样本数 }-1)}}$

第三步，根据F统计量的取值查表，得出原假设是否显著结论。

根据F统计量取值，查表：如果F统计量很大，则查表得到的p值<0.05，则说明SSB显著大于SSW，即各组之间的平均值有显著差异，拒绝原假设。

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示例

假设，有如下视频各分区播放量的数据：

方差分析又可以细分为单因素方差分析、双因素方差分析，这里，“因素”就是指“类别数>=3的类别型特征”。上面，已经基于单因素方差分析，给出了详细的介绍。双因素方差分析，就是同时考察两个类别型特征交叉后得到类别分组，在某个连续型特征上取值的均值是否有显著差异，本文先不展开描述。关于方差分析的内容基本介绍完了，对相关主题感兴趣的读者欢迎留言交流讨论。更多优质内容请欢迎扫码关注 瑞行AI：