小E的怪物挑战 题解 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小E在一个游戏中遇到了 $n$ 个按顺序出现的怪物，每个怪物都有其特定的血量 $h_i$ 和攻击力 $a_i$。小E的初始血量为 $H$，攻击力为 $A$。 游戏规则如下：

1. 小E可以击败一个血量和攻击力都小于她当前属性的怪物。
2. 对于第一个击败的怪物，需要满足其血量小于 $H$ 且攻击力小于 $A$。
3. 击败怪物后，小E会获得该怪物的属性值。
4. 为了保持战斗节奏，要求击败的怪物序列中，后一个怪物的血量和攻击力都必须严格大于前一个怪物。
   小E想知道，她最多能击败多少怪物。

思路历程

首先要注意，这道题目疑似是有极大问题的，一个是数据可能极弱，一个是题意非常之不明确。

初步设想

通过对多篇题解的分析，我认为这篇题解是接近真正解的6.小E的怪物挑战 )：

动态规划数组就是：

我们用 dp[i] 表示以第 $i$ 个可击败怪物结尾的最长递增子序列的长度。
初始化每个 dp[i] 的值都为 1，因为每个怪物至少可以单独成为一个子序列。

状态转移就是：

• 对于每一个怪物 $i$，遍历所有之前的怪物 $j$（j < i），如果怪物 $j$ 的血量和攻击力都小于怪物 $i$ 的血量和攻击力（即 h[j] < h[i] 且 a[j] < a[i]），那么我们可以将怪物 $i$ 添加到以怪物 $j$ 结尾的子序列中。
• 更新 dp[i] 的值为 dp[j] + 1，表示在以 $j$ 结尾的子序列基础上增加怪物 $i$。
• 取所有可能的 dp[j] + 1 中的最大值，赋给 dp[i]。
• 那么最终答案就是每一个子序列长度的最大值

但是这篇题解依托于一个条件：从左打怪打到右，即数据已经有序，这是非常致命的一个条件，因为我们很容易构造一个 hack：把原本能打到的一个怪放在第一个，根据这些默认从左往右打怪的伪正解，第一个怪是无法被加入最长公共子序列的。

尽管以上思路是伪正解，但是出于题目数据弱，可以通过。

深入讨论

发现问题了吗？

对啊， LIS 要保证序列自身是单调的啊，不然你单调个毛线最长递增子序列？

如何排序？我们知道在单一变量贪心问题上，直接单关键字排序即可，又或者在《国王游戏》这道极其经典的双变量贪心问题上，通过讨论得到一个新的单一关键字进行排序。但是由于此题的特殊条件，我们恐怕很难找到一个单一关键字可以实现这样的排序。其实，直接双关键字排序，正确性是有保障的：

对于另一个众多题解忽略的问题：攻击力 H 和血量 A 的变化问题，用 h,a 数组分别表示以 i 结尾时，小E的数值大小，转移时加上一层比较即可。

如此，我们便讨论出了真正的正解