在计算机图形学和线性代数中，变换矩阵是一种工具，用于在空间中对点或对象进行各种线性变换，比如平移、旋转、缩放、反射、剪切等。它使用矩阵乘法来表示这些变换，因而具有高效且简洁的特性。
常见的变换类型
1. 平移（Translation）
- 平移用于将点或对象从一个位置移动到另一个位置。
- 平移矩阵（假设二维空间）：
- (tx, ty) 是平移量。
- 平移效果：
2. 缩放（Scaling）
- 缩放改变点或对象的大小。
- 缩放矩阵（二维）：
- (sx, sy) 是 X 和 Y 轴方向的缩放因子。
- 缩放效果：
3. 旋转（Rotation）
- 旋转用于绕某个点（通常是原点）旋转对象。
- 旋转矩阵（二维）：
- θ是旋转角度。
- 旋转效果：
4. 剪切（Shearing）
- 剪切用于倾斜对象，使其沿某个方向拉伸或压缩。
- 剪切矩阵（二维）：
- (shx, shy) 是剪切因子。
齐次坐标和 3x3 矩阵的必要性
- 二维中的问题：直接使用 2x2 矩阵只能表示线性变换（如旋转、缩放、剪切）。然而，平移并不是线性变换，无法用 2x2 矩阵表示。
- 齐次坐标：通过引入一个额外的维度（即使在二维空间中，也将点扩展为 ([x, y, 1])），可以将平移也纳入矩阵运算。这就是为什么在二维变换中常使用 3x3 矩阵。
三维变换
1. 平移
- 平移矩阵（假设三维）：
2. 缩放
- 缩放矩阵：
3. 旋转
旋转围绕 X、Y、Z 轴的旋转矩阵分别为：
- 绕 X 轴旋转：
- 绕 Y 轴旋转：
- 绕 Z 轴旋转：
变换矩阵的组合
- 在实际应用中，经常需要组合多个变换（如先缩放后旋转再平移）。这种组合可以通过矩阵乘法实现：
[
M_{\text{组合}} = T \cdot R \cdot S
]
- 组合的顺序非常重要！矩阵乘法不满足交换律，因此变换顺序会影响结果。
实际用途
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图形学与渲染：
- 在 3D 渲染中，变换矩阵用于物体的建模变换（Model Transformation）、观察变换（View Transformation）和投影变换（Projection Transformation）。
- 例如，Unity 和 OpenGL 中，变换矩阵广泛用于定义对象的世界坐标和相机视角。
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动画：
- 变换矩阵用于对对象执行动态操作，如旋转、移动或缩放。
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物理模拟：
- 变换矩阵可以模拟刚体运动和变形操作。
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数据处理：
- 在数据可视化中，矩阵变换用于坐标系的变化和图表的缩放。
总结
变换矩阵是对对象在空间中进行位置和形状操作的数学工具，它将平移、旋转、缩放等操作统一到矩阵乘法中，通过高效的计算实现灵活的空间操作，是计算机图形学的核心概念之一。
