第313题 0,1背包最大价值问题问题描述一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品

问题描述

一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品都有一个重量和一个价值。你需要根据这些物品的重量和价值，决定如何选择物品放入背包，使得在不超过总容量的情况下，背包中物品的总价值最大。

给定两个整数数组 weights 和 values，其中 weights[i] 表示第 i 个物品的重量，values[i] 表示第 i 个物品的价值。你需要输出在满足背包总容量为 m 的情况下，背包中物品的最大总价值。

题目分析

本题是经典的0/1 背包问题，在算法竞赛、面试和日常工程中非常常见。其特点是选择性和容量限制，在有限资源下追求最大收益。问题描述如下：

旅行者有 $n$ 件物品，每件物品有重量和价值；
背包的容量为 $m$ ，不能超过此重量；
需要选择物品，使得装入背包的物品总价值最大。

我们需要编写一个算法，接受输入 $n$ 、 $weights[]$ 、 $values[]$ 和 $m$ ，输出能获得的最大总价值。

解题思路

这个问题的本质是一个动态规划问题。通过使用状态定义、状态转移方程、初始化条件，我们可以将问题转化为求解一个最优值。

1. 动态规划简介

动态规划是一种通过分解问题并保存子问题解的方法，用于解决最优化问题。对于背包问题，每件物品只有选或不选两种情况，而背包有一个容量限制。因此，我们需要根据前面选择的物品状态，推导当前的最优解。

2. 状态定义

我们用一个一维数组 dp[j] 表示：
当背包容量为 $j$ 时，能获得的最大总价值。

这里的容量 $j$ 是从 $0$ 到 $m$ ，表示背包在不同容量下的最优状态。

3. 状态转移方程

对于每个物品 $i$ ，我们有两种选择：

不选择物品 $i$ ： 背包的最大价值与前面的状态相同，即 dp[j] 不变；
选择物品 $i$ ： 在选择 $i$ 的情况下，背包需要减去物品 $i$ 的重量，同时增加物品 $i$ 的价值，即 dp[j - weights[i]] + values[i]。

因此，状态转移方程为：

$dp[j] = \max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])$

这个公式表示，对于当前背包容量 $j$ ，我们选择是否加入第 $i$ 件物品，以保证总价值最大。

4. 遍历顺序

外层循环： 遍历物品 $i$ ；
内层循环： 遍历背包容量 $j$ ，从 $m$ 到 $weights[i]$ 逆序更新。
为什么逆序？因为我们希望当前状态 dp[j] 不被覆盖，仍能使用上一轮的状态 dp[j - weights[i]]。

5. 初始化

对于容量为 $0$ 的背包，无论放什么物品，总价值都是 $0$ ，所以 dp[0] = 0。
其他容量 $j$ 的初始值也可以设为 $0$ ，表示当前没有物品装入背包。

6. 返回结果

最终，dp[m] 表示在背包容量为 $m$ 时，能装入的最大总价值。

代码实现

以下是完整代码实现：

def solution(n: int, weights: list, values: list, m: int) -> int:
    # 初始化 DP 数组
    dp = [0] * (m + 1)

    # 遍历每个物品
    for i in range(n):
        # 逆序遍历容量
        for j in range(m, weights[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])

    # 返回最大总价值
    return dp[m]

代码详解

1. 初始化 DP 数组

我们使用一个长度为 $m+1$ 的数组 dp 表示不同容量下的最大总价值：

dp = [0] * (m + 1)

初始时，dp[j] = 0，因为还没有装入物品。

2. 遍历每个物品

对于每件物品 $i$ ，我们需要检查它是否能够放入当前容量 $j$ 的背包中：

for i in range(n):  # 遍历每个物品

3. 逆序遍历背包容量

为了防止当前轮次更新覆盖之前的状态，我们从最大容量 $m$ 开始遍历：

for j in range(m, weights[i] - 1, -1):  # 逆序遍历
    dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])

dp[j] 表示不选第 $i$ 件物品；
dp[j - weights[i]] + values[i] 表示选择第 $i$ 件物品。

两者取最大值即可。

复杂度分析

1. 时间复杂度

外层循环 $n$ 次，表示遍历每个物品；
内层循环 $m$ 次，表示遍历背包容量；
总时间复杂度为 $O(n \times m)$ 。

2. 空间复杂度

只需要一个长度为 $m+1$ 的数组 dp，空间复杂度为 $O(m)$ 。

优化方向

空间优化： 如果需要记录选择的物品，可以用二维数组 dp[i][j]，表示前 $i$ 个物品的状态。
变体问题：
- 完全背包：每件物品可以选择多次；
- 多重背包：每件物品有数量限制。

总结

动态规划通过将问题分解为子问题并利用其结果，显著减少了计算量。对于本题，核心在于明确状态定义和推导转移方程。通过一维数组优化，空间复杂度降为 $O(m)$ ，非常高效！