问题描述
小R正在研究DNA序列，他需要一个函数来计算将一个受损DNA序列（dna1）转换成一个未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。编辑步骤包括：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。
问题背景
这个问题是经典的编辑距离（Levenshtein distance）问题，它在生物信息学、字符串处理和自然语言处理等领域有广泛应用。解决这个问题需要使用动态规划算法。
概念解释
- 编辑距离（Levenshtein distance）：指的是将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少单字符编辑（插入、删除或替换）操作次数。
- 这可以比作是一个校对员的任务。想象一下，你是一名校对员，手里有两份文稿，一份是原始稿件，另一份是被多次复印后出现许多错误的文字。你的任务是通过最少的修改（添加、删除或替换单词），将错误的文字改正为原始稿件的样子。编辑距离就是完成这个任务所需的最少修改次数。
- 动态规划：一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。它通过存储子问题的解（通常是在表格中），避免重复计算，从而提高效率。
- 想象你正在攀登一座山峰，但你只能沿着特定的路径前进。动态规划就像是你记录下每条路径的攀登高度，这样当你回到营地时，就可以查看记录，选择一条能够让你攀登到最高点的路径。这种方法避免了重复攀登同一段路径，节省了时间和体力。
思路分析
- 初始化：创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示dna1的前i个字符和dna2的前j个字符之间的编辑距离。
- 边界条件：当其中一个字符串为空时，编辑距离即为另一个字符串的长度，因为需要插入所有缺失的字符。
- 状态转移：对于每个位置，如果两个字符串中对应的字符相同，则编辑距离与上一个状态相同；如果不同，则考虑三种操作（插入、删除、替换），取其中最小的编辑距离加一。
代码详解
首先，定义了一个solution函数，它接受两个参数：受损DNA序列dna1和未受损DNA序列dna2。
def solution(dna1, dna2):
接着，创建一个二维数组来存储编辑距离，并初始化边界条件。
m, n = len(dna1), len(dna2)
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(n + 1):
dp[0][j] = j
然后，填充dp数组，根据当前字符是否相同，更新编辑距离。
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if dna1[i - 1] == dna2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
最后，返回最终的编辑距离。
return dp[m][n]
个人思考
在解决这个问题时，我首先考虑了如何有效地利用之前计算的结果来避免重复计算，这是动态规划的核心思想。通过将问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解，我们可以显著提高算法的效率。
我也思考了如何优化空间复杂度。在这个问题中，我们实际上并不需要存储整个dp数组，而只需要存储当前行和前一行，这可以将空间复杂度从O(m*n)降低到O(min(m,n))。
最后，我认为这个问题是一个非常好的练习，它不仅帮助我们理解动态规划，还锻炼了我们如何将理论知识应用到实际问题中。通过解决这个问题，我们能够更好地理解动态规划在解决优化问题中的应用，以及如何通过状态转移方程来解决问题。
