伴学笔记数组重排最小化差值 | 豆包MarsCode AI刷题一、题目背景与解析问题描述小C 和小U 面临一个优

一、题目背景与解析

问题描述
小C 和小U 面临一个优化问题，需要通过重新排列数组 a 的元素，来使数组 a 和数组 b 之间的差异最小化，计算目标是：

$sum(abs(a[i]−b[i]))\text{sum}(\text{abs}(a[i] - b[i]))sum(abs(a[i]−b[i]))$

其中，a 和 b 长度相同。为达到这一目标，需要找到最优的排列方式。

二、思路分析

1. 数组排列对最小化绝对值之和的影响：
重新排列数组 a 的元素意味着可以任意调整其顺序，以使每个元素与数组 b 中对应位置的元素尽可能接近。显然：

将 a 和 b 排序后，按顺序一一对应配对是最优的排列方式。
因为排序后，两数组的元素分布更接近，逐个相减后差值最小。

2. 为什么排序是最优解？
假设数组未排序，我们随机选择某些元素重新配对，可能会造成一个大的绝对差值。这种不匹配会显著增加总和。例如：

若 a = [1, 9, 6] 和 b = [2, 5, 7]，通过排序配对 [1, 2], [6, 5], [9, 7] 可达到最优；
若随机配对 [1, 5], [9, 2], [6, 7]，结果显然差值更大。

因此，按升序排列后配对的策略是最佳。

三、代码实现与解释

python

def solution(a: list, b: list) -> int:
    # 先对两个数组进行排序
    a.sort()
    b.sort()
    
    # 计算所有元素差值的绝对值之和
    return sum(abs(ai - bi) for ai, bi in zip(a, b))

if __name__ == '__main__':
    print(solution([2, 1, 3, 2], [5, 2, 4, 2]) == 5)
    print(solution([1, 4, 6], [2, 5, 7]) == 3)
    print(solution([1, 9, 6], [2, 5, 7]) == 4)

代码分析：

排序：
- 调用 Python 的内置排序函数 sort() 对两个数组升序排列，时间复杂度为 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)。
绝对值计算：
- 使用列表压缩和内置 zip() 函数，将两个数组排序后对应的元素逐个计算差值绝对值。
- 利用 sum() 函数对绝对值求和，时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。

四、测试用例与结果

测试用例1：
输入：a = [2, 1, 3, 2]，b = [5, 2, 4, 2]

排序后：a = [1, 2, 2, 3]，b = [2, 2, 4, 5]
配对差值：abs(1-2) + abs(2-2) + abs(2-4) + abs(3-5) = 1 + 0 + 2 + 2 = 5
输出：5

测试用例2：
输入：a = [1, 4, 6]，b = [2, 5, 7]

排序后：a = [1, 4, 6]，b = [2, 5, 7]
配对差值：abs(1-2) + abs(4-5) + abs(6-7) = 1 + 1 + 1 = 3
输出：3

测试用例3：
输入：a = [1, 9, 6]，b = [2, 5, 7]

排序后：a = [1, 6, 9]，b = [2, 5, 7]
配对差值：abs(1-2) + abs(6-5) + abs(9-7) = 1 + 1 + 2 = 4
输出：4

五、知识总结与个人思考

1. 排序的作用：
排序是解决很多优化问题的基础思路之一，尤其是类似“最小化”和“最大化”的问题。排序后，元素之间的“距离”变得更具规律性，便于通过一对一的分配实现目标。

2. 贪心策略的适用性：
本题中，通过排序后直接逐对计算绝对值，是一种贪心策略的体现。在每一步都选择最小的绝对差值，确保全局最优。

3. 代码的通用性：
该解决方案具有高度通用性，适用于数组长度相同且需要最小化差值的问题。对于更复杂的情况，如不同长度的数组，可以考虑动态规划的优化方案。

个人反思：

这道题虽然看似简单，但充分体现了算法设计中的“局部最优”与“全局最优”关系。排序的思维不仅提升了效率，也简化了问题的复杂度。
在实际应用中，类似问题可以扩展到“任务分配”、“资源调度”等场景。

六、学习计划与建议

学习目标：
- 继续强化对排序算法的理解，掌握快速排序、归并排序等常用算法的原理与实现。
- 深入学习贪心算法的基本思想与应用场景。
实践建议：
- 尝试解决更多涉及“最小化差值”的问题，如最小生成树、区间覆盖等。
- 探索动态规划方法对类似问题的解法，体会不同算法思路的异同。

七、总结

本题通过排序结合逐对计算绝对值的方法，利用贪心策略高效解决了数组重排最小化差值的问题。它展示了算法设计中“局部最优策略”的力量，同时为解决更多优化类问题提供了思路。希望这份笔记能帮助大家深入理解问题的本质，并为类似问题提供参考！

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