伴学笔记之题解6 | 豆包MarsCode AI刷题

题解：多重背包问题

83 小S的货船租赁冒险

问题分析

这是一道经典的多重背包问题。小S希望在预算 V 内，选择若干种货船，以使总载货量最大化。对于每种货船，其数量有限，这种限制增加了问题的复杂性。

解决此问题的关键是使用动态规划，构建一个容量为 V 的背包，逐步将每种货船的选择纳入决策。

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动态规划思路

我们可以用一个数组 dp 来表示在不同预算情况下的最大载货量，其中：

• dp[j] 表示在预算为 jj 时，小S可以获得的最大载货量。

状态转移方程： 对于第 ii 种货船，租赁成本为 v[i]，最大载货量为 w[i]，数量为 m[i]，我们需要考虑是否选择这一种货船。决策时需满足预算 $j \geq v[i]$。

• 对于货船 i 的每一艘，我们逐步分配给当前预算 j： $dp[j] = \max(dp[j], dp[j - k \cdot v[i]] + k \cdot w[i])$ 其中 k 表示选择的船数量，范围是 $0 \leq k \leq m[i]$。

优化处理： 由于直接枚举 kk 会导致时间复杂度较高，可以采用二进制分组优化。将货船的数量 m[i] 转化为若干虚拟物品，避免直接枚举。

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算法步骤

1. 初始化：

   • 创建一个数组 dp，长度为 V+1V + 1，初始值为 0，表示初始预算下的最大载货量。

2. 二进制分组：

   • 对于每种货船 i，将其数量 m[i] 分解为若干件物品（数量为 1,2,4,…，直至不超过 m[i]），并将每件物品视为独立的选择。

3. 动态规划转移：

   • 遍历所有虚拟物品，根据租赁成本和载货量更新 dp 数组。

4. 结果输出：

   • 输出 dp[V]，即在预算 VV 下的最大载货量。

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示例代码

def max_cargo(Q, V, ships):
    # 初始化 DP 数组
    dp = [0] * (V + 1)
    
    # 遍历每种货船
    for m, v, w in ships:
        # 二进制分组
        k = 1
        while m > 0:
            count = min(k, m)  # 当前分组中物品的数量
            m -= count
            cost = count * v  # 当前分组的总租赁成本
            weight = count * w  # 当前分组的总载货量
            
            # 更新 DP 数组，从后向前遍历避免重复计算
            for j in range(V, cost - 1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost] + weight)
            
            k *= 2  # 下一个分组容量倍增

    return dp[V]

# 测试样例
print(max_cargo(2, 10, [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]))  # 输出: 32
print(max_cargo(3, 50, [[5, 10, 20], [2, 20, 30], [3, 15, 25]]))  # 输出: 100
print(max_cargo(1, 100, [[10, 5, 50]]))  # 输出: 500
print(max_cargo(4, 100, [[1, 100, 200], [2, 50, 100], [3, 33, 66], [4, 25, 50]]))  # 输出: 200
print(max_cargo(2, 300, [[100, 1, 1], [50, 5, 10]]))  # 输出: 550

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示例解析

示例 1

输入：Q = 2, V = 10, ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]

• 初始化：dp = [0] * 11。

• 对第 1 种货船（二进制分组：1 和 1）：

  • 选择一艘：成本 3，载货量 2。
  • 两次遍历后，dp = [0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4]。

• 对第 2 种货船（二进制分组：1、2）：

  • 第一轮：dp = [0, 0, 0, 2, 10, 10, 12, 12, 12, 20, 20]。
  • 第二轮：dp = [0, 0, 0, 2, 10, 10, 12, 20, 20, 20, 32]。

最终结果为 dp[10] = 32。

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复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 二进制分组：每种货船 m[i] 被分解为 $O(\log(m[i]))$件虚拟物品。
   • 动态规划：对每件虚拟物品遍历预算 VV，复杂度为 $O(Q \cdot V \cdot \log(m[i]))$。

2. 空间复杂度：

   • 仅需维护一个大小为V + 1 的 DP 数组，复杂度为 O(V)。

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总结

本题通过将多重背包问题转换为多个 0/1 背包子问题，并利用二进制分组优化枚举，实现了高效求解。动态规划中的状态转移逻辑清晰，适用于资源分配、成本优化等类似问题，是经典的算法模型之一。