问题描述
小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hNh1,h2,...,hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 kk 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。 对于 kk 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为： R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1]) 即，R(k)R(k) 的值为这 kk 个相邻元素中的最小值乘以 kk。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 kk，R(k)R(k) 的最大值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：9
样例2：
输入：
n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]输出：9
样例3：
输入：
n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
输出：16
背景介绍
在计算机科学中，矩形面积问题是一个经典的计算几何问题，尤其是在图形处理、计算机视觉和工程应用中，具有广泛的应用场景。 例如，在直方图的应用中，我们经常需要根据相邻条形的高度来计算可能形成的最大矩形区域。 类似的问题也出现在建筑、物理建模以及优化问题中。
在本问题中，我们需要从一组给定的高度数据中，计算任意 k 个相邻元素所能形成的最大矩形面积。 这个问题的本质是如何在一个一维数组中，选取连续的 k 个元素，计算它们所形成的矩形面积，并求出最大值。 可以看到，面积的大小取决于这 k 个元素的最小高度，因为矩形的高度是由最矮的柱子决定的，宽度就是这 k 个相邻元素的数量。
该问题涉及到的知识点
- 数组的滑动窗口
- 矩形的面积计算
- 最小值的查找与维护
通过合理的算法设计，可以有效地解决这个问题。
解题思路
1. 问题分析
给定一个包含 N 个元素的数组 h1, h2, ..., hN，对于任意 k 个连续的元素 h[i], h[i+1], ..., h[i+k-1]，我们需要计算矩形的最大面积 R(k)，其定义为：
R（ k ） = k × 分钟 （ h [ 我 ] 、 h [ 我 + 1 ] 、 。 。 。 、 h [ 我 + k − 1 ] ） R(k) = k \times \min(h[i], h[i+1], ..., h[i+k-1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])
其中， k 是连续元素的数量， min(h[i], h[i+1], ..., h[i+k-1]) 是这 k 个元素中的最小值。
我们要求的是对于任意的 k、 R(k) 的最大值，即从数组中选取连续的 k 个元素，形成的最大矩形面积。
2. 暴力解法
最直观的做法是通过暴力枚举所有 k 和 i，对每个 k，计算出所有可能的连续子数组，然后求出每个子数组的矩形面积，最后找出最大的矩形面积。这种方法的时间复杂度是 O(N^2)，因为对于每个 k 都需要对所有可能的子数组计算最小值，计算过程需要 O(N) 的时间，因此总体复杂度为 O(N^2)。
然而，这种方法对于较大的输入规模（例如 N 较大时）可能效率较低。 因此，需要寻找更高效的解决方法。
3. 滑动窗口优化
可以利用滑动窗口的思想来优化计算过程。 对于一个给定的 k，我们可以通过一个滑动窗口来维护当前 k 个元素的最小值。 具体地，可以使用一个单调队列（单调栈）来高效地维护一个窗口内的最小值。
具体步骤：
- 从左到右遍历数组，维护一个单调队列（或单调栈），该队列/栈中的元素始终保持递增或递减顺序。 这样，我们就能在 O(1) 时间内获取当前窗口内的最小值。
- 对于每个窗口大小
k，通过计算该窗口内的最小值，乘以k得到该窗口的矩形面积。 - 更新最大矩形面积。
这种方法利用了单调队列/栈的特性，可以在 O(N) 的时间复杂度内计算出所有可能的
k的最大矩形面积。 由于我们只需要一次遍历数组并在每个位置更新队列/栈，因此这种方法在时间效率上比暴力解法要高效得多。
4. 求解所有 k 的最大值
为了得到最大矩形面积，我们不仅要计算单一的矩形面积，还需要遍历所有可能的 k 值，从而得出最大值。 通过滑动窗口技术，我们可以在遍历过程中逐步更新最大值。
5. 优化空间复杂度
通过使用单调栈，我们不仅能优化时间复杂度，还能优化空间复杂度。 单调栈的空间复杂度是 O(N)，在大部分情况下，这是一个相对高效的空间复杂度。
代码参考
def solution(n, array):
max_area = 0
# 遍历所有可能的 k
for k in range(1, n + 1):
# 遍历所有可能的起始点
for i in range(n - k + 1):
# 计算当前 k 个相邻元素的最小值
min_height = min(array[i:i + k])
# 计算矩形面积
area = k * min_height
# 更新最大面积
max_area = max(max_area, area)
return max_area
