青训营X豆包MarsCode 技术训练营第七课｜豆包MarsCode AI 刷题最大矩形面积问题：深入分析与解题思路

最大矩形面积问题：深入分析与解题思路

引言

在数据分析和算法设计中，我们经常会遇到一些需要最大化或最小化某些指标的问题。今天，我们将探讨一个经典的问题——最大矩形面积问题。这个问题不仅在算法竞赛中常见，也在实际的数据分析和优化问题中有着广泛的应用。

问题描述

小S最近在分析一个数组 h1, h2, ..., hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 k 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 k 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，R(k) 的值为这 k 个相邻元素中的最小值乘以 k。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 k，R(k) 的最大值。

问题分析

这个问题可以被视为一个经典的“最大矩形面积”问题，其核心在于如何在给定的数组中找到一个子数组，使得该子数组的元素形成的矩形面积最大。具体来说，我们需要考虑以下几个方面：

子数组的选择：我们需要遍历数组中的每一个可能的子数组，计算其形成的矩形面积。由于数组的长度为 N，因此我们需要考虑所有可能的子数组长度 k，从 1 到 N。
最小值的计算：对于每一个子数组，我们需要计算其最小值。这个最小值将决定该子数组所能形成的矩形的高度。
面积的计算：对于每一个子数组，其形成的矩形面积为子数组的长度 k 乘以子数组的最小值。我们需要记录并更新这些面积的最大值。

解题思路

为了高效地解决这个问题，我们可以采用以下步骤：

遍历所有可能的子数组长度：从 1 到 N，依次计算每个长度的子数组所能形成的最大矩形面积。
滑动窗口法：对于每一个固定的子数组长度 k，我们可以使用滑动窗口的方法来遍历数组，计算每个窗口内的最小值，并更新最大面积。
优化计算：在计算最小值时，我们可以利用前一个窗口的最小值来减少计算量，从而提高效率。

代码实现

下面是这个问题的Java代码实现：

java
 代码解读
复制代码
public class Main {
    public static int solution(int n, int[] array) {
        int maxArea = 0;
        
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            int minHeight = Integer.MAX_VALUE;
            for (int i = 0; i <= n - k; i++) {
                minHeight = Math.min(minHeight, array[i + k - 1]);
                int area = k * minHeight;
                maxArea = Math.max(maxArea, area);
            }
        }
        
        return maxArea;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Add your test cases here
        System.out.println(solution(5, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 9);
        System.out.println(solution(6, new int[]{5, 4, 3, 2, 1, 6}) == 9);
        System.out.println(solution(4, new int[]{4, 4, 4, 4}) == 16);
    }
}

代码解释

遍历子数组长度：我们使用外层循环遍历所有可能的子数组长度 k，从 1 到 n。
滑动窗口计算最小值：对于每一个固定的子数组长度 k，我们使用内层循环遍历数组，计算每个窗口内的最小值。我们通过比较当前窗口的最小值和前一个窗口的最小值来更新最小值。
计算并更新最大面积：对于每一个窗口，我们计算其形成的矩形面积，并更新最大面积。

测试样例

我们通过几个测试样例来验证我们的解题思路：

样例1：
- 输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
- 输出：9
- 解释：当 k = 3 时，子数组 [3, 4, 5] 的最小值为 3，形成的矩形面积为 3 * 3 = 9，这是最大的面积。
样例2：
- 输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]
- 输出：9
- 解释：当 k = 3 时，子数组 [5, 4, 3] 的最小值为 3，形成的矩形面积为 3 * 3 = 9，这是最大的面积。
样例3：
- 输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
- 输出：16
- 解释：当 k = 4 时，子数组 [4, 4, 4, 4] 的最小值为 4，形成的矩形面积为 4 * 4 = 16，这是最大的面积。

通过这些测试样例，我们可以验证我们的解题思路是正确的，并且能够处理不同的情况。

总结

最大矩形面积问题是一个经典的算法问题，通过合理地选择子数组和计算最小值，我们可以高效地找到问题的解。这个问题的解决思路不仅适用于小S的分析需求，也可以推广到其他类似的场景中。

在实际应用中，我们可能会遇到更复杂的情况，例如数组元素的动态变化或需要实时计算最大面积。通过掌握这个问题的基本思路和优化方法，我们可以更好地应对这些挑战。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解最大矩形面积问题，并在实际应用中灵活运用这些知识。如果你有任何问题或想法，欢迎在评论区留言讨论！

作者：一碗提拉米苏
链接：juejin.cn/post/744233…
来源：稀土掘金
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