问题描述
小M面对一组从 1 到 9 的数字，这些数字被分成多个小组，并从每个小组中选择一个数字组成一个新的数。目标是使得这个新数的各位数字之和为偶数。任务是计算出有多少种不同的分组和选择方法可以达到这一目标。
numbers: 一个由多个整数字符串组成的列表，每个字符串可以视为一个数字组。小M需要从每个数字组中选择一个数字。
例如对于[123, 456, 789]，14个符合条件的数为：147 149 158 167 169 248 257 259 268 347 349 358 367 369。
测试样例
样例1：
输入：
numbers = [123, 456, 789]
输出：14
样例2：
输入：
numbers = [123456789]
输出：4
样例3：
输入：
numbers = [14329, 7568]
输出：10
背景介绍
这个问题来源于组合数学中的一个典型问题，它涉及了数字的分组和从每个组中选择一个数字来满足特定条件。在实际应用中，这类问题常常出现在数据分类、信号处理、编码理论、排列组合等领域。问题本身简单直观，但却能够通过不同的思维方式引发多种解法，且能够加深对数字性质、组合方式以及数学算法的理解。 在这个问题中，给定了一组数字，这些数字被分成了多个小组，目标是从每个小组中选择一个数字，组成一个新的数字，且该新数字的各位数字之和需要满足偶数的条件。偶数的特性之一是其各位数字之和为偶数，因此可以通过一些技巧性的方法来找到符合条件的解。
解题思路
- 理解题目和问题的条件： 我们的任务是从每个数字组中选择一个数字，组成一个新的数，使得这个新数的各位数字之和为偶数。由于偶数的定义是其数字和为偶数，因此可以通过判断数字和的奇偶性来得出结论。
- 如何判断新数的数字和的奇偶性： 对于新数字的各位数字之和，只有最后一位的奇偶性才是决定整个数和奇偶性的关键。因为其他位数的数字对总和奇偶性的影响是递进的，而最后一位数字直接决定了这个数的最终奇偶性。例如，如果最后一位数字为偶数，则总和为偶数；如果最后一位数字为奇数，则总和为奇数。
- 动态规划： 由于需要从每个小组中选择一个数字，问题的复杂度呈指数增长。为了避免重复计算，可以使用动态规划的方法。定义一个状态
dp[i][0]表示前i组选择数字后，数字和为偶数的方案数；dp[i][1]表示数字和为奇数的方案数。- 对于每个数字组中的每个数字，判断该数字的奇偶性，并根据它的奇偶性更新动态规划状态：
- 如果当前数字是偶数，选择它不影响当前总和的奇偶性。
- 如果当前数字是奇数，选择它会改变当前总和的奇偶性。
- 初始化和递推： 初始时，
dp[0][0] = 1，即前 0 组（没有选择任何数字）时，数字和为偶数的方案数为 1；dp[0][1] = 0，即没有选择任何数字时，数字和不可能为奇数。对于每一组数字，根据数字的奇偶性，更新dp[i][0]和dp[i][1]，直到处理完所有数字组。 - 结果计算： 最终，我们需要返回
dp[n][0]，即所有数字组中选择一个数字后的结果，且数字和为偶数的方案数。
代码参考
def count_even_sum_numbers(numbers):
# dp[i][0] 表示前 i 组选择数字后，和为偶数的方案数
# dp[i][1] 表示前 i 组选择数字后，和为奇数的方案数
dp = [[0, 0] for _ in range(len(numbers) + 1)]
dp[0][0] = 1 # 没有选数字时和为偶数
for i in range(1, len(numbers) + 1):
group = numbers[i - 1]
even_count, odd_count = 0, 0
for digit in group:
if int(digit) % 2 == 0:
even_count += 1
else:
odd_count += 1
dp[i][0] = dp[i - 1][0] * even_count + dp[i - 1][1] * odd_count
dp[i][1] = dp[i - 1][0] * odd_count + dp[i - 1][1] * even_count
return dp[len(numbers)][0] # 返回和为偶数的方案数
