伴学笔记之题解1 | 豆包MarsCode AI刷题

题目解析

题目要求从整数位置$x_x$ 移动到整数位置 $y_y$ ，移动的规则是每步的步长必须是连续整数（变化范围是 -1、0 或 +1），且首步和末步的步长必须是 1。需要求出从 $x_x$ 到 $y_y$ 的最少步数。

解题思路

1. 问题建模

将问题看作一段路径的移动，满足以下约束：

• 起始步长为 1，末尾步长也为 1；
• 步长之间连续，差值只能是 −1、0 或 +1。

2. 观察特点

• 如果路径较短，步长可能是$1 \to 2 \to 1$，即形成一个上升和下降的模式；
• 如果路径较长，步长可能呈现更复杂的变化，比如 $1 \to 2 \to 3 \to 2 \to 1$。

这要求我们控制步长的增长和减少，保证移动的总距离正好等于 |y - x|。

3. 贪心策略

为了最小化步数：

• 尽可能增加步长，因为增加步长会更快缩短两点间的距离；
• 平滑地过渡到减少步长，避免多余的移动。

4. 核心公式

考虑步长序列 1,2,…,$k_{1, 2, \ldots, k}$其前 $k$ 步的总距离为：

$S_k = 1 + 2 + \ldots + k = \frac{k \cdot (k + 1)}{2}$

1. 当 $S_k$ 超过或等于 |y - x| 时，停止步长增加。
2. 调整最后几步，使得总距离正好等于 |y - x|。

解法实现

算法步骤

1. 计算目标距离：$\text{distance} = |y - x|$。
2. 寻找最大步长：找到 k，使得 $S_k$ 最接近且不小于 $\text{distance}$。
3. 调整步数：若 $S_k > \text{distance}$，通过减少某些步长来补偿多余的距离。

代码实现（Python）

def min_steps(x, y):
    distance = abs(y - x)
    step = 0
    total_distance = 0

    # 累积步长，直到超过或等于目标距离
    while total_distance < distance:
        step += 1
        total_distance += step

    # 检查多余的步长是否需要调整
    while (total_distance - distance) % 2 != 0:  # 调整步数使得多余部分为偶数
        step += 1
        total_distance += step

    return step

# 示例测试
print(min_steps(12, 6))  # 输出: 4
print(min_steps(34, 45))  # 输出: 6

复杂度分析

1. 时间复杂度：步长增长是线性的，时间复杂度为 O(distance)。
2. 空间复杂度：仅使用常数变量，空间复杂度为 O(1)。

示例解释

示例 1

输入：$x = 12, y = 6，\text{distance} = 6$

1. 步长序列：1→2→2→1，总步数为 4。
2. 输出：4。

示例 2

输入：$x = 34, y = 45，\text{distance} = 11$

1. 步长序列：$1 \to 2 \to 3 \to 2 \to 2 \to 1$，总步数为 6。
2. 输出：6。

总结

这道题的关键在于利用贪心策略以及数列和，选择最优的步长增加模式，同时通过调整补偿额外的移动，从而最小化总步数。 通过这道题，巩固了python实现算法题的技巧与语法，期待能探索出其他知识点。