题目描述
题目要求我们构造一个包含 nn 个元素的数组，满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组元素的最大公约数（GCD）为 kk。
- 数组元素之和尽可能小。
思路分析
要使得数组的元素的最大公约数是 kk，我们可以做如下的推导：
- 如果数组的最大公约数是 kk，则数组中的所有元素都应该是 kk 的倍数。因此，我们可以将数组中的每个元素表示为 k×xik×xi，其中 xixi 是正整数，且 x1,x2,…,xnx1,x2,…,xn 必须是不同的。
- 题目要求数组元素之和尽可能小，那么要想最小化和，就应该让 x1,x2,…,xnx1,x2,…,xn 尽量小且不同。
- 因此，我们可以选择 x1,x2,…,xnx1,x2,…,xn 为从 1 到 nn 的整数，即 xi=ixi=i（为了满足元素两两不同），这样可以保证元素之和最小。
- 所以数组的元素可以选择为 k×1,k×2,…,k×nk×1,k×2,…,k×n。
数组元素之和
对于数组元素 a1,a2,…,ana1,a2,…,an，我们有：
ai=k×i(i = 1, 2, ..., n)ai=k×i(i = 1, 2, ..., n)
那么数组的和为：
S=k×1+k×2+⋯+k×n=k×(1+2+⋯+n)S=k×1+k×2+⋯+k×n=k×(1+2+⋯+n)
根据等差数列求和公式：
1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+⋯+n=2n(n+1)
因此，数组的和为：
S=k×n(n+1)2S=k×2n(n+1)
最终解答
数组元素之和的最小值是 k×n(n+1)2k×2n(n+1)。
算法步骤
- 计算 n(n+1)22n(n+1)。
- 计算数组元素之和 S=k×n(n+1)2S=k×2n(n+1)。
- 输出最小值 SS。
复杂度分析
- 时间复杂度：计算和 n(n+1)22n(n+1) 需要常数时间 O(1)O(1)。
- 空间复杂度：只需要常数空间 O(1)O(1)。
示例
输入：
- n=3n=3
- k=2k=2
输出：
- 2×3×42=2×6=122×23×4=2×6=12
解释：
- 数组的元素可以选择为 2×1,2×2,2×32×1,2×2,2×3，即 2,4,62,4,6。
- 它们的和是 2+4+6=122+4+6=12，满足题目条件。 下面是用 Python 实现的代码，计算给定 nn 和 kk 下数组元素之和的最小值：
pythonCopy Code
def min_sum_of_array(n, k):
# 计算1 + 2 + ... + n的和
sum_of_first_n = n * (n + 1) // 2
# 最小和为 k * sum_of_first_n
return k * sum_of_first_n
# 测试
n = int(input("请输入n: ")) # 输入n
k = int(input("请输入k: ")) # 输入k
result = min_sum_of_array(n, k)
print(f"最小和为: {result}")
代码说明：
min_sum_of_array函数计算给定 nn 和 kk 下数组元素之和的最小值。我们使用等差数列求和公式计算 1+2+...+n1+2+...+n 的和，然后乘以 kk。- 输入： 用户输入数组的大小 nn 和最大公约数 kk。
- 输出： 输出满足条件的数组元素之和的最小值。
