题目分析
这个题目实际上是在模拟弹珠通过版面的过程，使用动态规划来计算从最上方到达最底部时，能获得的最高分数。由于我们可以自由选择起始位置，同时弹珠一定会落到底部，因此我们可以从最底层逐渐向顶层更新 dp 数组求解。题目中的版面可以通过一个二维数组表示，其中每个格子有三种状态：钉子（-1），得分点（非负整数），空白（0）。我们的目标是从版面的最上面任意一列放置弹珠，计算出弹珠经过每个位置时能获得的最大分数。
解题思路
1. 状态定义： 我们定义一个 dp 数组，其中 dp[i][j] 代表从第 i 行，第 j 列的位置开始，能获得的最大分数。我们从最底部的行开始往上填充这个数组。然后，最后计算第一行的最大值，即为我们能获得的最高分数。
2. 边界条件： 最底部的行 dp[n-1][j] 直接根据当前位置的状态确定：
- 如果该位置是钉子（
array[n-1][j] == -1），得分为0，因为无法从钉子上弹射。 - 如果该位置是得分点（
array[n-1][j] >= 0），那么得分就是该得分点的分数。 - 如果该位置为空白（
array[n-1][j] == 0），得分为0，因为弹珠会直接往下掉。
3. 状态转移： 对于非底部的行，我们需要考虑每个位置的状态：
-
如果当前位置是钉子（
array[i][j] == -1） ，弹珠可以向左下或右下弹射，依赖于上一行左下或右下的位置：- 如果当前列
j不是最左列且不是最右列，弹珠可以选择从左下（dp[i + 1][j - 1]）或右下（dp[i + 1][j + 1]）弹射。 - 如果是最左列（
j == 0），弹珠只能从右下（dp[i + 1][j + 1]）弹射。 - 如果是最右列（
j == m - 1），弹珠只能从左下（dp[i + 1][j - 1]）弹射。
- 如果当前列
-
如果当前位置是空白（
array[i][j] == 0） ，弹珠会直接从上方的位置落下，即继承上一行同一列的分数dp[i][j] = dp[i+1][j]。 -
如果当前位置是得分点（
array[i][j] > 0） ，弹珠会从上方的位置直接下落，且获得当前位置的得分。因此，dp[i][j] = array[i][j] + dp[i+1][j]。
4. 结果计算： 完成 dp 数组的填充后，第一行中的最大值即为从任意列开始，弹珠能够获得的最大分数。
代码解析
public static int solution(int n, int m, int[][] array) {
// 初始化DP数组
int[][] dp = new int[n][m];
// 边界条件：最底层的行
for (int j = 0; j < m; j++) {
dp[n-1][j] = array[n-1][j] != -1 ? array[n-1][j] : 0;
}
// 状态转移
for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (array[i][j] == -1) {
// 钉子：考虑向左下和向右下弹射
if (j > 0 && j < m - 1) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j - 1], dp[i + 1][j + 1]);
} else if (j == 0) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1];
} else if (j == m - 1) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
}
} else {
// 得分点或空白：直接从上方继承分数
dp[i][j] = array[i][j] + dp[i+1][j];
}
}
}
// 计算最大分数
int maxScore = 0;
for (int j = 0; j < m; j++) {
maxScore = Math.max(maxScore, dp[0][j]);
}
return maxScore;
}
代码解析
- 初始化
dp数组： 在最底行（n-1）上，我们直接根据array[n-1][j]的值来初始化dp数组。如果该位置是钉子（-1），那么dp[n-1][j]就为0；否则，得分为该位置的得分。 - 动态规划转移： 从倒数第二行开始，逐行计算每个位置的最大得分。若当前格子是钉子（-1），就考虑从左下或右下位置传递得分；若当前格子是空白（0）或得分点（非负数），则直接从下方位置继承得分。
- 计算结果： 最后，我们遍历第一行的每个位置，找到其中的最大值，这就是我们最终的结果。
时间复杂度分析
- 初始化
dp数组需要 O(M) 时间，其中 M 是列数。 - 动态规划填充
dp数组的时间复杂度是 O(N * M)，其中 N 是行数，M 是列数。 - 最终计算最大值的时间复杂度是 O(M)。
因此，总的时间复杂度为 O(N * M)，这对于最大输入大小（N, M <= 1000）是可以接受的。
空间复杂度分析
- 我们使用了一个
dp数组，大小为N * M，因此空间复杂度为 O(N * M)。
