字符串最短循环子串问题概述： 给定一个字符串，任务是找出它的 最短循环子串。最短循环子串是指能够通过循环（即旋转）得到原字符串的最短子串。 问题分析：
1.循环子串的定义：如果将字符串S进行任意次数的循环（或旋转），可以得到一个新的字符串S'。循环子串是从S'中截取的一段字符串，它仍然能代表原字符串的循环特性。 2.最短循环子串：我们需要找到一个最短的子串 X，使得重复若干次 X 可以构造出原始字符串 S。例如，"ababab" 的最短循环子串是 "ab"。
解决思路： 要找到最短循环子串，我们可以使用一些算法和技巧，下面是其中几种方法：
- 基于字符串匹配的最小周期法: 最短循环子串的长度通常是字符串的 最小周期，即最小的子串，重复若干次可以得到原字符串。 算法步骤：
3.对于字符串 S，计算它的最小周期。最小周期就是从某个位置开始重复直到回到原点所需的长度。 4.利用 KMP 算法中的部分匹配表（也叫前缀函数），可以帮助我们高效地找到这个最小周期。
例子： 对于字符串 "ababab"：
5.它的前缀函数（KMP算法）可以帮助我们知道 "ab" 这个子串的重复形成了整个字符串。 6.因此，最短循环子串就是 "ab"。
KMP算法中的前缀函数:
7.前缀函数 pi[i] 表示的是从字符串开头到第 i 个字符的最长相等前缀和后缀的长度。 8.若 pi[n-1] 是字符串的前缀函数的最后一个值，则最短周期的长度可以通过公式 n - pi[n-1] 得到。
- 暴力法： 对于一个长度为 n 的字符串 S，我们可以尝试所有可能的子串 X，然后判断重复若干次后是否可以得到原字符串 S。 算法步骤：
9.从长度 1 到 n，尝试每个子串 X。 10.判断该子串重复若干次后是否能等于原字符串 S。 11.最早找到的符合条件的子串就是最短循环子串。
时间复杂度：O(n^2)，对于较大的字符串可能效率较低。
- 基于扩展字符串的方法： 扩展字符串法是通过将原字符串 S 与自己拼接（例如 S + S）来构造一个新的字符串，目的是通过搜索最短的周期性模式。 算法步骤：
12.将字符串 S 扩展为 S + S，得到一个长度为 2n 的新字符串。 13.在扩展后的字符串中查找最短的周期性子串。 14.在扩展后的字符串中找到第一个出现在原始字符串内的循环模式，确定最短周期。
- 最短循环子串的数学公式： 最短循环子串的长度可以通过字符串的 最小周期 来确定。一般情况下，最小周期 p 的长度可以通过以下公式推算：
15.如果字符串的长度为 n，并且存在一个子串 X 的长度为 p，使得 X 重复若干次等于整个字符串，那么 p 就是最短循环子串的长度。 16.最小周期可以通过前缀函数或其他数学方法计算出来。
总结：
17.最短循环子串是最小周期的一个实例。 18.通过计算字符串的最小周期，可以高效地得到最短循环子串。
