##思路分析
本题的核心在于满足条件的同时，使得数组元素之和尽可能小。
条件分解
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数组中的所有元素两两不同：
- 数组中的每个元素必须是不同的数。
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数组所有元素的最大公约数为 ( k )：
- 这意味着数组中的每个元素都必须是 ( k ) 的倍数。
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数组元素之和尽可能小：
- 要让和尽可能小，就需要让数组中的元素尽量小，同时满足上面两个条件。
构造方法
- 我们可以通过构造一个数组 ( a[i] ) 满足以上条件。
- 从数学角度考虑：
- 要使元素之和尽可能小，可以从最小的 ( k ) 的倍数开始构造。
- 数组可以表示为：[ a[i] = k \times i ]，其中 ( i = 1, 2, ..., n )。
数学公式
- 构造的数组为：[ a = [k*1, k * 2, ..., k * n] ]。
- 数组的和为： [ \text{sum} = k \times (1 + 2 + ... + n) = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2} ]
测试样例
样例 1：( n = 3, k = 1 )
- 数组构造：[ a = [1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3] = [1, 2, 3] ]
- 数组之和：[ \text{sum} = 1 + 2 + 3 = 6 ]
- 输出：6
样例 2：( n = 2, k = 2 )
- 数组构造：[ a = [2 \times 1, 2 \times 2] = [2, 4] ]
- 数组之和：[ \text{sum} = 2 + 4 = 6 ]
- 输出：6
样例 3：( n = 4, k = 3 )
- 数组构造：[ a = [3 \times 1, 3 \times 2, 3 \times 3, 3 \times 4] = [3, 6, 9, 12] ]
- 数组之和：[ \text{sum} = 3 + 6 + 9 + 12 = 30 ]
- 输出：30
实现代码
根据上述分析，代码可以如下实现：
def min_sum(n, k):
return k * (n * (n + 1)) // 2
# 测试样例
print(min_sum(3, 1)) # 输出 6
print(min_sum(2, 2)) # 输出 6
print(min_sum(4, 3)) # 输出 30
时间复杂度
- 构造数组和计算和的过程均为 ( O(1) )，因此时间复杂度为 ( O(1) )。
这道题主要考察了以下几个方面的知识
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最大公约数 (GCD)：
- 题目要求构造一个数组，所有元素的最大公约数为 kk。这是一个典型的数论问题，考察如何通过倍数关系保证 GCD(a1,a2,…,an)=kGCD(a1,a2,…,an)=k。
- 解决方法是利用 kk 的倍数来构造数组。
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等差数列求和公式：
- 通过公式 sum=k×n×(n+1)2sum=k×2n×(n+1)，快速计算数组之和。
问题建模与公式化
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题目描述转化为数学公式：
- 最大公约数的约束 → 数组元素必须是 kk 的倍数。
- 元素之和最小 → 选择最小的 nn 个 kk 的倍数。
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这种转化能力是解决实际问题的重要技能。
