活动日划分问题 | 豆包MarsCode AI刷题

罗luo
46 阅读9分钟

一、问题背景与要求

在字节跳动的活动中，有一个组织者小A需要将一个树结构划分成若干个 Special 连通分块，每个连通分块只包含一种礼物，并且每个分块可以包含任意数量的未挂礼物的结点。为了让小A有更多的选择，题目要求我们计算出有多少种不同的划分方式。

树的结构与礼物的设置

给定的是一个树结构，树中有n个节点，每个节点上可能挂有一个礼物。节点数n和礼物数K是已知的，其中每个节点至多挂一个礼物，且最多有 K 种不同的礼物。我们需要划分树的边，以形成若干个连通分块。每个连通分块必须满足以下两个条件：

  1. 每个分块中，只能包含一种礼物。
  2. 每个分块中可以包含任意数量的未挂礼物的结点。

问题的核心目标

给定树的结构和礼物的分布，我们需要计算出符合题目要求的 划分方案数，并输出结果。为了防止方案数过大，输出时需对结果取模998244353。

二、问题分析

本问题的关键点在于如何处理树的结构以及如何划分这些树的边。树是一个无环的连通图，每个节点都可以看作树中的一个点。树本身具有唯一的路径连通性，因此，树的划分问题相较于普通图的划分具有特殊性。

1. 树的结构：节点与边的表示

树的结构是由节点和边组成的。在这里，树共有 n个节点和n-1条边。每条边连接两个节点，且树中的每对节点之间存在且仅存在一条路径。树的特点决定了每个子树中从根节点到该子树的路径是唯一的。

2. 礼物的分配

每个节点上可能挂有礼物，礼物的种类最多为 K 种。我们需要在划分树的时候，保证每个生成的子树（连通分块）中礼物的种类最多为一种，即每个子树中不能有多种礼物。

3. 划分的要求

划分的过程中，我们需要考虑如何 切割树的边，使得每个划分后的子树中，只有一种礼物（或者没有礼物）。这意味着：

  • 每个分块中可以包含多个节点，且节点之间的路径是连通的。
  • 每个分块中，所有节点的礼物种类必须相同，或者节点没有挂礼物。
  • 通过切割树的边来生成新的连通分块。

4. 有效划分的条件

每次进行树的划分时，必须确保：

  1. 切割后的每个分块中只有一种礼物。
  2. 分块中的礼物可以为空，但不能含有多种礼物。
  3. 每个分块可能包含未挂礼物的节点，但这类节点不会影响分块的礼物种类要求。

主要问题

  1. 树的划分：我们需要将树划分成多个子树，每个子树包含同一种礼物。关键在于如何决定划分的位置（即切割哪一条边）。
  2. 切边方案的枚举：我们需要枚举所有可能的边切割方案，并检查每个方案是否满足条件。具体地，我们需要确保每个子树中的礼物一致，且每个切割后的子树都符合要求。
  3. 回溯与剪枝：为了有效地解决问题，我们需要通过回溯的方式来枚举不同的切割方案，同时使用剪枝策略避免不必要的计算。

解决方案设计

为了能够高效解决这个问题，我们将采用 深度优先搜索（DFS） 和 回溯 的组合技术。以下是我们解决问题的总体思路：

1. 输入解析

首先，我们需要解析输入数据。输入数据包括：

  • n：树中节点的数量。
  • K：树中礼物的种类数。
  • gifts：长度为 n 的数组，表示每个节点的礼物类型。若某个节点没有挂礼物，该节点对应的值为 0。
  • edges：长度为 n-1 的数组，表示树中的边。每条边连接两个节点。

我们将根据这些信息构建树的结构，并为后续的遍历和切割做准备。

2. 构建邻接表

树的结构可以通过一个 邻接表 来表示。对于每一条边 (u, v)，我们将 u 和 v 加入到彼此的邻接表中。这样，我们可以在后续的 DFS 遍历中，方便地访问每个节点的邻居。

3. 深度优先搜索（DFS）与回溯

核心算法部分是通过 DFS 来枚举所有可能的切割方案。在每一步 DFS 中，我们尝试切割当前节点的某条边，并递归检查切割后的子树是否合法。

具体步骤如下：

  • DFS遍历：从根节点开始，递归遍历整个树。对于每个节点，我们会尝试两种操作：

    1. 不切割当前边：即继续将当前节点与其邻居保持连接。
    2. 切割当前边：即将当前边断开，将其视为一个新的连通分块。

  • 合法性判断：每当我们进行一次切割时，我们需要检查生成的子树是否符合要求。检查的内容包括：

    1. 子树中的礼物种类是否一致。
    2. 是否存在礼物种类不一致的子树。

  • 回溯：通过回溯的方式，当遇到不合法的切割方案时，我们将撤销当前操作，返回到上一步继续尝试其他的切割方案。

4. 结果计算与模运算

由于结果可能非常大，我们在每次计算出一个合法划分方案时，都需要对结果进行取模运算，以防溢出。

5. 时间复杂度

由于树的结构是一个无环的连通图，且每个节点只能有一个父节点，因此在最坏情况下，我们的 DFS 时间复杂度是 O(n)，每次切割的判断和回溯的操作也大致是 O(1)。因此，总体时间复杂度为 O(n)。 代码实现：

function solution(nodes, decorations, tree) {
    const MOD = 998244353;
    // 提取礼物信息和边信息
    const gifts = tree[0];
    const edges = tree.slice(1);

    // 确保 gifts 数组的长度与节点数一致
    if (gifts.length < nodes) {
        gifts.push(...Array(nodes - gifts.length).fill(0));
    }
    // 记录剪边的数组
    const cut_edges = Array(nodes - 1).fill(false);
    // 判断连通分块是否只包含一种礼物的函数
    function is_valid_block(cut_edges) {
        // 初始化邻接表
        const adj = Array.from({ length: nodes + 1 }, () => []);
        
        for (let i = 0; i < nodes - 1; i++) {
            if (!cut_edges[i]) {
                const [u, v] = edges[i];
                adj[u].push(v);
                adj[v].push(u);
            }
        }

        // 用DFS判断每个连通分块的礼物种类是否一致
        function dfs(node, gift_type, visited) {
            visited[node] = true;
            for (const neighbor of adj[node]) {
                if (!visited[neighbor]) {
                    if (gifts[neighbor - 1] !== 0 && gifts[neighbor - 1] !== gift_type) {
                        return false;
                    }
                    if (!dfs(neighbor, gifts[neighbor - 1] || gift_type, visited)) {
                        return false;
                    }
                }
            }
            return true;
        }

        const visited = Array(nodes + 1).fill(false);
        for (let i = 1; i <= nodes; i++) {
            if (!visited[i] && gifts[i - 1] !== 0 && !dfs(i, gifts[i - 1], visited)) {
                return false;
            }
        }

        return true;
    }

    let count = 0;

    // 深度优先搜索函数
    function dfs(i, cut_count) {
        // 如果已经切割超过了允许的次数，或已经处理完所有边
        if (cut_count > decorations - 1 || i >= nodes - 1) {
            if (is_valid_block(cut_edges)) {
                count = (count + 1) % MOD;
            }
            return;
        }

        // 不切割当前边，继续进行
        dfs(i + 1, cut_count);

        // 切割当前边
        cut_edges[i] = true;
        dfs(i + 1, cut_count + 1);
        cut_edges[i] = false; // 恢复状态
    }

    // 从边的索引0开始，进行DFS遍历所有可能的切割方案
    dfs(0, 0);
    return count;
}

代码解读

  1. 输入解析与初始设置：

    • gifts: 用于存储每个节点上挂的礼物的种类。
    • edges: 存储树中所有的边，这些边连接两个节点。
    • cut_edges: 用来记录哪些边被切割了，初始时所有边都不被切割。

  2. is_valid_block(cut_edges) ：

    • 该函数用于判断给定的边切割方案是否有效。我们通过构建树的邻接表，然后用 DFS 来检查每个连通分块中的礼物种类是否一致。每次递归时，如果遇到不同礼物种类的节点，则返回 false。

  3. DFS遍历与回溯：

    • dfs(i, cut_count) 用来递归处理树的边。i 是当前处理的边的索引，cut_count 是已经切割的边数。

    • 每次递归时，尝试两种操作：

      1. 不切割当前边：继续递归处理下一个边。
      2. 切割当前边：将当前边标记为切割，然后继续递归处理下一个边。

    • 每次递归的终止条件是已经处理完所有的边或已经切割的边数超过允许的最大值 decorations - 1。

  4. 合法方案计数：

    • 在每次 DFS 结束后，我们检查当前的 cut_edges 是否符合要求。如果符合要求，则增加有效方案的计数。

  5. 模运算：

    • 由于最终答案可能非常大，我们使用 MOD = 998244353 来对计数结果进行取模，以防止溢出。

时间复杂度

  • DFS的时间复杂度：DFS 中的每一次递归都会检查一次切割方案，最坏情况下是对 n-1 条边的每一条都进行选择，因此 DFS 的时间复杂度是 O(2^(n-1))。
  • 检查合法性的时间复杂度：每次调用 is_valid_block 都需要遍历所有节点和边，时间复杂度是 O(n)。
  • 总体时间复杂度大约为 O(n * 2^(n-1))，这是因为我们要遍历所有可能的切割方案，并对每个方案进行合法性验证。

进一步优化

由于该问题的解空间非常大，且可能会涉及大量重复计算，因此如果输入的规模很大时，这种暴力枚举的方法可能会遇到性能瓶颈。优化方案包括：

  • 动态规划：通过记忆化递归来减少重复计算。
  • 剪枝：如果某些边的切割明显不符合条件，提前停止进一步的递归。

总结

这个问题是一个典型的树形动态规划与回溯结合的问题，通过深度优先搜索（DFS）遍历所有可能的切割方案，并检查每个方案是否合法。我们通过适当的剪枝和回溯来减小计算量，确保结果在可接受的时间内计算出来。

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