徒步旅行中的补给问题 | 豆包MarsCode AI刷题

今天带来做题分享！

1. 分析问题关键要素

• 已知总路程需要 N 天，意味着小 R 总共需要 N 份食物来完成整个徒步旅行。
• 每个补给站食物价格不同，且小 R 最多只能同时携带 K 份食物，这限制了小 R 每次购买食物的数量以及储备策略。

2. 确定可能的解题方向

可以考虑使用动态规划的思想来解决此问题，通过逐步分析每一天的情况，记录下到达每一步时的最优花费策略。

3. 具体步骤思路

第一步：定义状态

设 dp[i][j] 表示在第 i 天，小 R 身上携带 j 份食物时的最低花费。其中 i 的范围是从 0 到 N，j 的范围是从 0 到 K。

第二步：初始化状态

• 当 i = 0 时，也就是旅行开始前，小 R 还未经过任何补给站，此时 dp[0][0] = 0，因为还没有产生花费。

第三步：状态转移方程推导

对于每一天 i（i > 0）：

• 若 j >= 1，小 R 可以选择不购买食物，直接消耗一份食物继续前进，此时花费不变，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]。

• 若 j < K，小 R 可以选择在当前补给站购买食物，假设当前补给站食物单价为 price[i]。小 R 需要购买足够的食物使得在接下来的行程中既能满足每天的消耗，又能尽量减少花费。

  • 小 R 可以购买 x 份食物（1 <= x <= K - j），购买后的花费为当前花费加上购买 x 份食物的花费，即 dp[i][j + x] = min(dp[i][j + x], dp[i - 1][j] + price[i] * x)。这里需要遍历所有可能的购买数量 x，找到使 dp[i][j + x] 最小的 x 值。

第四步：最终答案获取

最终的最低花费就是 dp[N][0]，因为在完成 N 天的旅行后，小 R 身上不需要再携带食物，此时的花费就是整个旅行过程中的最低花费。

通过以上动态规划的思路，逐步填充状态数组 dp，最终得到小 R 完成这次徒步旅行的最低花费。

请给出具体的代码实现。

若小R的初始食物数量不为0，该如何修改代码？

若补给站的食物价格随时间动态变化，该如何计算最低花费？

部分代码

def solution(n, k, data): dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)] dp[0][0] = 0

for i in range(1, n + 1):
    for l in range(k):
        for j in range(k):
            if l - j + 1 >= 0 and l - j + 1 <= k:
                dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1])
# print(dp)
return dp[n][0]

心得

通过解决这道题，对动态规划思想有了更深刻的领悟。动态规划的核心在于将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过记录子问题的最优解来避免重复计算，从而高效地求解整个问题。在本题中，定义 dp[i][j] 来表示特定状态下的最小花费，这一状态表示方式直观地反映了旅行过程中的关键信息 —— 时间（第 i 天）和食物储备量（j 份）。通过逐步推导状态转移方程，清晰地看到如何从之前的状态递推到当前状态，这使我更加熟练掌握了动态规划中状态定义与转移方程构建的技巧。