补给站最优花费问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题理解

1. 目标：在M天内，每天都有足够的食物，并且总花费最少。

2. 输入：

   • M：总路程所需的天数。
   • N：路上补给站的数量。
   • p：每个补给站的描述，包含两个数字 A 和 B，表示第 A 天有一个补给站，并且该站每份食物的价格为 B 元。

3. 输出：最少花费的金额。

数据结构选择

为了有效地解决这个问题，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）。动态规划是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。

1. DP数组：dp[i] 表示在第 i 天结束时，小U花费的最少钱数。
2. 补给站字典：使用字典来存储补给站的信息，键是天数，值是该天补给站的食物价格。

算法步骤

1. 初始化：

   • 创建一个长度为 M + 1 的 dp 数组，初始值为无穷大（表示初始状态下无法到达）。
   • dp[0] 初始化为0，因为第0天的花费为0。

2. 状态转移：

   • 对于每一天 i，遍历之前的每一天 j。
   • 如果 j 天有补给站，计算从第 j 天购买食物到第 i 天的总花费：cost = dp[j] + (i - j) * supply_stations[j]。
   • 更新 dp[i] 为 min(dp[i], cost)。

3. 结果：

   • 最终答案为 dp[M]，即在第 M 天结束时的最少花费。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(M^2)，因为我们需要遍历每一天，并对每一天之前的每一天进行计算。
• 空间复杂度：O(M)，用于存储 dp 数组。

测试样例

通过测试样例可以验证算法的正确性：

1. 样例1：

   • 输入：m = 5, n = 4, p = [[0, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]]
   • 输出：7
   • 解释：在第0天购买2份食物，花费4元；在第2天购买1份食物，花费1元；总花费为7元。

2. 样例2：

   • 输入：m = 6, n = 5, p = [[0, 1], [1, 5], [2, 2], [3, 4], [5, 1]]
   • 输出：6
   • 解释：在第0天购买1份食物，花费1元；在第2天购买2份食物，花费4元；在第5天购买1份食物，花费1元；总花费为6元。

3. 样例3：

   • 输入：m = 4, n = 3, p = [[0, 3], [2, 2], [3, 1]]
   • 输出：9
   • 解释：在第0天购买3份食物，花费9元；总花费为9元。

总结

通过动态规划的方法，我们可以有效地解决这个问题。关键在于理解如何通过状态转移来计算每一天的最少花费，并利用补给站的信息来优化购买策略。这种方法不仅适用于本题，还可以推广到其他类似的优化问题中。通过合理的数据结构选择和算法设计，我们可以在保证正确性的同时，尽量减少时间和空间复杂度。