题解——17. 小M的数组变换 | 豆包MarsCode AI刷题

原题截图

题意分析

分析题干可以发现，选择两个元素$a_i$和$a_j$以及$a_i$的一个因子$x$，进行$a_i:=a_i/x$，$a_j:=a_j\times x$的操作，实际上就相当于在$a_i$的素因子的可重集合$S_{a_i}$中删去一个元素$x$，并将$x$加入$a_j$的素因子的可重集合$S_{a_j}$中，所以可以将题意转化为以下的等价版本。

有一个数组$a$以及$n$个可重集合$S_{a_1},S_{a_2},...,S_{a_n}$，可以进行的操作为：选择两个可重集合$S_{a_i}$与$S_{a_j}$，从$S_{a_i}$中删去一个元素$x$，并将$x$加入$S_{a_j}$中（其中对于$1\leq i\leq n$，可重集合$S_{a_i}$中存放的是$a_i$的所有素因子）。问能否通过若干次操作，使每个可重集合中的元素的种类数至多为$1$，若能，返回"Yes"，否则返回"No"。

*种类数的解释：例如，可重集合$[2,2,2,3,3]$的元素种类数为$2$，因为所有的$2$视为同一种元素，所有的$3$也视为同一种元素。

解题思路

在将题意转化为上述等价版本后，题目的难点仅剩素因子的分解，因为通过素因子的分解得出数组$a$中每个数的素因子后，也就得出了可重集合$S_{a_i}(1\leq i\leq n)$中的元素。容易得出，题目返回"Yes"的充要条件即为：所有可重集合中的元素的种类数$\leq n$，即数组$a$中所有数的素因子的种类数$\leq n$。

对于素因子（后面统一称为“质因数”）的分解，由于豆包MarsCode AI刷题平台的题目未给出数据范围，因此先假设数据范围足够小，直接用试除法分解质因数。具体过程为：设要分解质因数为ai，设ceil(sqrt(ai))为sai，从2开始按步长1向后遍历，设遍历到的元素为j，并在不满足j<=ai && j<=sai时结束遍历，如果ai%j == 0则ai /= j;，并向记录所有数的素因子的种类数的集合st中放入j，如果遍历完成后，仍然有ai != 1，则向集合st中放入ai。更加准确的过程描述请见代码实现部分。

如果实际的数据范围较大，可以先用埃氏筛、欧拉筛等质数筛在$O(n)$或接近$O(n)$的时间复杂度下筛选出$[1,n]$区间内的质数，然后用筛出来的质数去分解质因数，可以避免遍历到不是质数的数，从而降低一定的时间复杂度。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string solution(int n,vector<int>& a)
{
    set<int> st;
    for (auto&& ai : a)
    {
        int sai = ceil(sqrt(ai));
        for(int j=2;j<=ai && j<=sai;j++)
        {
            while(ai%j == 0)
            {
                ai /= j;
                st.insert(j);
            }
        }
        if(ai != 1) st.insert(ai);
    }
    return st.size()<=a.size() ? "Yes" : "No";
}

总结

本题使用简单的试除法分解质因数，设数组$a$的长度为$n$，数组中元素的最大值为$k$，则时间复杂度为$O(n\sqrt k)$，空间复杂度为$O(n\log_2k)$；如果$k$的值较大，可以使用质数筛来降低时间复杂度的常数值（当$\sqrt k$来到大约$10^5$至$10^7$的数量级时，大约可将复杂度常数值降到原来的$\frac{1}{10}$到$\frac{1}{15}$，即这一范围内质数与所有数的个数之比）。如果你有复杂度更优的解法，欢迎在下方评论。