最长递增子序列问题笔记
问题背景与建模
最长递增子序列（LIS） 是经典的动态规划问题之一。其核心在于在一个给定的序列中，找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素是严格递增的。该问题不仅在学术研究中具有重要地位，还在许多实际应用中发挥作用，例如基因序列分析、股票价格预测等。
问题定义：
给定一个长度为 n 的序列 nums，我们需要找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素是严格递增的。
输入输出：
- 输入：一个数组
nums，表示给定的序列。 - 输出：最长递增子序列的长度。
分析与思考
解决该问题需要综合考虑以下两个因素：
- 递增性：子序列中的元素必须是严格递增的。
- 最长性：我们需要找到最长的满足递增条件的子序列。
由于无法直接穷举所有可能的子序列（组合数为 2^n，当 n 较大时不可行），我们需要更高效的算法。动态规划是解决此类问题的理想工具。
动态规划思路
3.1 状态定义
设 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。这里，i 的范围是从 0 到 n-1。
dp[0]表示以nums[0]结尾的最长递增子序列的长度（始终为 1）。dp[n-1]表示以nums[n-1]结尾的最长递增子序列的长度，即我们要求解的目标之一。
3.2 转移方程
对于每个元素 nums[i]，我们需要考虑它之前的所有元素 nums[j]（其中 j < i）：
- 如果
nums[i] > nums[j]，则nums[i]可以接在nums[j]后面形成一个递增子序列。 - 因此，状态转移方程为：
[
dp[i] = \max(dp[i], dp[j] + 1) \quad \text{for all } j < i \text{ and } nums[j] < nums[i]
]
3.3 初始化与边界条件
- 初始时，每个元素自身可以构成一个长度为 1 的递增子序列，即
dp[i] = 1对于所有i。
3.4 遍历顺序
- 外层遍历
i，表示当前考虑的元素。 - 内层遍历
j，表示在i之前的元素，检查是否可以形成递增子序列。
4.1 复杂度分析
- 时间复杂度：动态规划的核心是双重循环。外层遍历
n个元素，内层遍历i之前的元素，因此时间复杂度为 (O(n^2))。 - 空间复杂度：我们只使用一个一维数组
dp，因此空间复杂度为 (O(n))。
解题步骤：
-
初始化
dp数组：dp = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]。 -
考虑第 1 个元素
nums[1] = 9：9不能接在10后面，dp[1]保持为1。
-
考虑第 2 个元素
nums[2] = 2：2不能接在10和9后面，dp[2]保持为1。
-
考虑第 3 个元素
nums[3] = 5：5可以接在2后面，dp[3] = max(dp[3], dp[2] + 1) = 2。
-
考虑第 4 个元素
nums[4] = 3：3可以接在2后面，dp[4] = max(dp[4], dp[2] + 1) = 2。
-
考虑第 5 个元素
nums[5] = 7：7可以接在5和3后面，dp[5] = max(dp[5], dp[3] + 1, dp[4] + 1) = 3。
-
考虑第 6 个元素
nums[6] = 101：101可以接在7后面，dp[6] = max(dp[6], dp[5] + 1) = 4。
-
考虑第 7 个元素
nums[7] = 18：18可以接在7后面，dp[7] = max(dp[7], dp[5] + 1) = 4。
最终结果：dp = [1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4]，最长递增子序列的长度为 4。
总结与启发
最长递增子序列问题虽然是一道经典的算法题，但它的解决思路远不局限于“写出正确代码”。在解决问题的过程中，我们需要：
- 从问题建模开始，明确输入、输出和约束条件。
- 分析解法的核心思路，找出限制因素与优化目标。
- 权衡解法优劣，结合实际需求选择合适的算法。
更重要的是，最长递增子序列的思想广泛应用于现实场景，例如基因序列分析、股票价格预测等。在这些应用中，动态规划的思维和解决方法，能够帮助我们找到更高效、更科学的解决方案。
