今天分享一道我个人认为非常有意思的题目与思路分析：是题库中的“连续自然数乘积问题”。 首先，展示题目如下：
问题描述
小S在学习素数因子的分解，并希望在 [1, n] 的范围内找到一些连续的自然数，这些数的乘积最多包含 k 个不同的素因子。任务是找到可以取的连续自然数的最大长度。
解题思路
- 素因子分解：首先，需要对每个数进行素因子分解，以确定其素因子。
- 滑动窗口：使用滑动窗口技术来遍历 [1, n] 范围内的所有连续自然数序列。
- 维护素因子集合：在滑动窗口中维护一个集合来记录当前窗口内所有数的素因子。
- 调整窗口大小：当集合中的素因子数量超过 k 时，调整窗口的起始位置，直到满足条件。
- 记录最大长度：在遍历过程中记录满足条件的最大窗口长度。
实现代码
以下是实现这一思路的代码：
import java.util.*;
public class Main {
public static int solution(int n, int k) {
Map<Integer, Integer> primeCount = new HashMap<>();
int left = 1, right = 1, maxLen = 0;
while (right <= n) {
// 获取当前右边界数的素因子
for (int prime : primeFactors(right)) {
primeCount.put(prime, primeCount.getOrDefault(prime, 0) + 1);
}
// 如果素因子的种类超过k，则收缩左边界
while (primeCount.size() > k) {
for (int prime : primeFactors(left)) {
int count = primeCount.get(prime);
if (count == 1) {
primeCount.remove(prime);
} else {
primeCount.put(prime, count - 1);
}
}
left++;
}
// 更新最大长度
maxLen = Math.max(maxLen, right - left + 1);
right++;
}
return maxLen;
}
private static Set<Integer> primeFactors(int number) {
Set<Integer> factors = new HashSet<>();
for (int i = 2; i <= number / i; i++) {
while (number % i == 0) {
factors.add(i);
number /= i;
}
}
if (number > 1) {
factors.add(number);
}
return factors;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(10, 3) == 6);
System.out.println(solution(20, 5) == 12);
System.out.println(solution(100, 4) == 10);
}
}
解题思路
- 初始化：创建一个哈希表
primeCount来记录每个素因子的出现次数，以及两个指针left和right来表示滑动窗口的左右边界。 - 滑动窗口：通过右指针
right遍历从 1 到 n 的每个数。 - 素因子分解：对每个数调用
primeFactors方法，获取其素因子，并在primeCount中更新这些素因子的计数。 - 调整窗口大小：如果窗口内素因子的种类超过 k，则通过左指针
left缩小窗口，直到素因子的种类不超过 k。 - 更新最大长度：在每次调整窗口后，计算当前窗口的长度，并与
maxLen进行比较，更新最大长度。
时间复杂度
- 素因子分解的时间复杂度为 O(sqrt(n))。
- 滑动窗口的时间复杂度为 O(n)。
- 总的时间复杂度约为 O(n * sqrt(n))。
空间复杂度
- 使用了哈希表来存储素因子及其计数，最坏情况下空间复杂度为 O(k)。
学习心得
通过分析这段代码，我学到了以下几方面的知识：
- 滑动窗口技术：这是一种处理数组或序列问题的有效方法，通过两个指针来维护一个窗口，并根据条件调整窗口大小。
- 素因子分解：素数理论在算法中的应用，如何高效地分解一个数的素因子。
- 哈希表的使用：通过哈希表来记录和更新素因子的出现次数，提高了代码的效率。
- 算法设计：如何将一个复杂的数学问题转化为可编程的算法，并通过代码实现。 这个问题的解决过程不仅加深了我对算法和数据结构的理解，也锻炼了我在实际问题中应用这些知识的能力。在未来的学习和工作中，我将尝试将这种思路和方法应用到更多的问题解决中。
