一、水果店果篮最小成本问题
1、问题描述
小C开了一家水果店，某天接到了一个大订单，要求将n个编号为1到n的水果打包成多个果篮，每个果篮的最大容量为m个水果，并且果篮中水果的编号必须连续。每个果篮的成本与容纳的水果数量及水果的体积相关，成本公式为：
k×⌊(u+v)/2⌋+s
其中，u是果篮中水果的最大体积，v是果篮中水果的最小体积，k是果篮中水果的数量，s是一个常数，⌊x⌋ 表示对x进行下取整。
你的任务是帮助小C将这些水果打包成若干果篮，使得总成本最小。
例如：当有6个水果，体积为[1, 4, 5, 1, 4, 1]，一个果篮最多装4个水果，常数s为3时，最优的打包方案是将前三个水果（1, 4, 5）装成一个果篮，后三个水果（1, 4, 1）装成另一个果篮，最小的总成本为21。
2、测试样例
样例1：
输入：
n = 6, m = 4, s = 3, a = [1, 4, 5, 1, 4, 1]
输出：21
样例2：
输入：
n = 5, m = 3, s = 2, a = [2, 3, 1, 4, 6]
输出：17
样例3：
输入：
n = 7, m = 4, s = 5, a = [3, 6, 2, 7, 1, 4, 5]
输出：35
二、问题分析
这个问题是一个典型的动态规划问题，我们的目标是找到一种打包方式，使得总成本最小。
1、解题思路
- 定义状态：设dp[i]表示前i个水果的最小总成本。
- 状态转移：对于每个水果i，我们尝试将其与前面的j个水果（j从1到m）打包成一个果篮，计算这个果篮的成本，并更新dp[i]。
- 初始化：dp[0] = 0，表示没有水果时成本为0。
- 计算果篮成本：对于每个果篮，我们需要找到其中的最大体积maxVolume和最小体积minVolume，然后根据公式计算成本。
- 更新状态：对于每个i，我们通过尝试不同的j，找到最小的dp[i]。
2、解题步骤
-
初始化dp数组：创建一个大小为n+1的dp数组，并将所有元素初始化为Integer.MAX_VALUE，除了dp[0]初始化为0。
-
遍历每个水果：从1到n遍历每个水果。
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尝试打包：对于每个水果i，从1到m尝试将其与前面的j个水果打包成一个果篮。
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计算成本：对于每个果篮，计算其中的最大体积和最小体积，然后根据公式计算成本。
-
更新dp数组：将当前果篮的成本加到dp[i-j]上，与dp[i]进行比较，取较小值。
-
返回结果：最后，dp[n]即为前n个水果的最小总成本。
三、代码实现
import java.util.Arrays;
public class Main {
public static int solution(int n, int m, int s, int[] a) {
// 初始化 dp 数组，dp[i] 表示前 i 个水果的最小总成本
int[] dp = new int[n + 1];
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
dp[0] = 0; // 没有水果时成本为 0
// 遍历每个水果
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int maxVolume = Integer.MIN_VALUE;
int minVolume = Integer.MAX_VALUE;
// 尝试将当前水果与前面的水果打包成一个果篮
for (int j = 1; j <= m && i - j >= 0; j++) {
maxVolume = Math.max(maxVolume, a[i - j]);
minVolume = Math.min(minVolume, a[i - j]);
// 计算当前果篮的成本
int cost = j * ((maxVolume + minVolume) / 2) + s;
// 更新 dp[i]
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j] + cost);
}
}
// 返回前 n 个水果的最小总成本
return dp[n];
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(6, 4, 3, new int[]{1, 4, 5, 1, 4, 1}) == 21);
System.out.println(solution(5, 3, 2, new int[]{2, 3, 1, 4, 6}) == 17);
System.out.println(solution(7, 4, 5, new int[]{3, 6, 2, 7, 1, 4, 5}) == 35);
}
}
四、复杂度分析
- 时间复杂度：O(n * m)，因为我们需要遍历每个水果，并且对于每个水果，我们尝试将其与前面的m个水果打包成一个果篮。
- 空间复杂度：O(n)，因为我们需要一个大小为n+1的dp数组来存储状态。
五、总结
这个问题是一个典型的动态规划问题，通过定义状态和状态转移，我们可以找到最小成本的打包方式。在实际应用中，我们可能需要考虑更多的约束条件，例如水果的重量、果篮的大小等。
优化思考
虽然当前的代码已经可以解决问题，但是我们可以通过一些优化来提高效率。例如，我们可以使用单调队列来快速找到最大体积和最小体积，这样可以将时间复杂度降低到O(n)。此外，我们还可以考虑使用滚动数组来减少空间复杂度。但是，这些优化可能会使代码变得复杂，因此在实际应用中我们需要权衡优化和代码的可读性。
