卡牌翻面问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

原题：卡牌翻面问题

小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai​，背面是 bibi​。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。

例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。

思路分析

要解决这个问题，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法。我们需要维护一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示当前处理到的卡牌数量，j 表示当前数字之和对3取模的结果。dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中选择某些卡牌的正面或背面，使得这些卡牌的数字之和对3取模等于 j 的方案数。

具体步骤如下：

1. 初始化 dp 数组，dp[0][0] = 1，表示没有卡牌时，数字之和为0的方案数为1。
2. 遍历每张卡牌，对于每张卡牌的正反面数字，更新 dp 数组。
3. 最终结果为 dp[n][0]，表示前 n 张卡牌中选择某些卡牌的正面或背面，使得这些卡牌的数字之和对3取模等于0的方案数。

代码实现

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>


using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int solution(int n, std::vector<int> a, std::vector<int> b) {
  // write code here
  vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
  dp[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
    for (int j = 0; j < 3; j++) {
      dp[i][(j + a[i - 1]) % 3] =
          (dp[i][(j + a[i - 1]) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
      dp[i][(j + b[i - 1]) % 3] =
          (dp[i][(j + b[i - 1]) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
    }
  }
  return dp[n][0]; // Placeholder return
}

这个代码首先定义了一个常量 MOD 用于取模运算。函数内部使用动态规划的方法来更新 dp 数组，最后返回 dp[n][0] 作为结果。

本题中，使用动态规划解决并不难想到，关键在于dp数组的构造，i 表示当前处理到的卡牌数量，j 表示当前数字之和对3取模的结果为j，其中j的含义是很有创见的。

动态规划在此类问题中非常高效，因为它避免了暴力求解的指数级复杂性，通过逐步累加状态来得到最终结果。