问题分析
题目要求我们计算在第A个月末，兔子群体的总对数。题目中给出了一种特殊兔子的繁殖规律：
- 每对成年兔子每个月生育一对新的小兔子（一雌一雄）。
- 新生的小兔子需要一个月才能成长，成长后才能开始繁殖。
- 兔子永远不会死亡。
初始条件：
- 初始时有1对新生小兔子。
- 第1个月，兔子群体中没有成年兔子，只有一对小兔子。
- 第2个月，原本的那对小兔子变成了成年兔子，并且它们开始繁殖。
- 从第3个月开始，兔子数量会增长，因为每对成年兔子都会繁殖新一对兔子。
这实际上是一个经典的斐波那契数列问题。我们可以将这个问题转化为计算第A个月末兔子群体总对数的问题。根据斐波那契数列的规律，兔子群体的数量在每个月会遵循如下的递推关系：
- 第1个月末，兔子数量为1对（只有初始的一对小兔子）。
- 第2个月末，兔子数量为2对（初始的1对小兔子成长为成年兔子，并繁殖了1对小兔子）。
- 从第3个月开始，兔子的对数是前两个月兔子对数的和，因为每对成年兔子都会繁殖一对新兔子。
斐波那契数列
斐波那契数列的定义为：
- F(1) = 1
- F(2) = 2
- F(n) = F(n-1) + F(n-2)，当
n ≥ 3。
兔子群体的对数是从第三个月开始按照上述规律增长。即每个月的兔子对数是前两个月兔子对数的和。例如：
- 第1个月末：兔子对数为1（只有一对新生小兔子）。
- 第2个月末：兔子对数为2（原有的1对成年兔子繁殖了一对新兔子）。
- 第3个月末：兔子对数为3（1对成年兔子和1对新生小兔子，成年兔子继续繁殖）。
- 第4个月末：兔子对数为5（1对成年兔子继续繁殖，之前的新生兔子也开始繁殖）。
- ...
因此，兔子群体的数量从第3个月开始就是斐波那契数列的增长。
动态规划方法
为了高效地计算第A个月的兔子总对数，我们可以使用动态规划的方法。这种方法通过迭代计算来避免重复计算，可以显著提高计算效率，尤其是当A比较大的时候（例如A=50）。
动态规划的思路：
- 初始时，设定第1个月和第2个月的兔子数量。
- 从第3个月开始，通过前两个月的数量来计算新的数量。
- 每次计算当前月份的兔子数量时，我们只需要记住前两个月的数量，因此可以用两个变量来存储当前月份和前一个月的兔子数量。
动态规划实现
def solution(A):
# 初始状态
if A == 1:
return 1 # 第1个月只有1对兔子
elif A == 2:
return 2 # 第2个月有2对兔子
# 使用两个变量存储前两个月的兔子对数
prev, curr = 1, 2 # 第1个月是1对， 第2个月是2对
# 从第3个月开始，计算兔子对数
for month in range(3, A + 1):
prev, curr = curr, prev + curr # 当前月的兔子对数是前两个月兔子对数的和
return curr # 返回第A个月末的兔子对数
if __name__ == "__main__":
# 添加测试用例
print(solution(5) == 8) # 第5个月末有8对兔子
print(solution(1) == 1) # 第1个月末有1对兔子
print(solution(15) == 987) # 第15个月末有987对兔子
print(solution(50) == 20365011074) # 第50个月末有20365011074对兔子
代码解释
- 初始条件：如果
A是1或2，直接返回1或2。第1个月只有1对兔子，第2个月有2对兔子。 - 变量
prev和curr：用来存储前两个月的兔子对数。prev表示前一个月的兔子数量，curr表示当前月的兔子数量。 - 循环：从第3个月开始，通过
prev和curr的和来计算当前月的兔子对数，并更新prev和curr的值，直到计算到第A个月。 - 返回结果：最终返回
curr，即第A个月末的兔子对数。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(A)，因为我们从第3个月到第
A个月，逐一计算兔子数量。每次计算只需要常数时间。 - 空间复杂度：O(1)，因为我们只用两个变量
prev和curr来存储前两个月的兔子数量，不需要额外的空间来存储其他信息。
边界情况
- 当
A = 1时，兔子数量应该是1对。 - 当
A = 2时，兔子数量应该是2对。 - 对于大值
A（例如A=50），代码仍然可以高效计算并返回正确的结果。
总结
这道题可以通过动态规划和斐波那契数列的知识来解决。通过迭代计算前两个月的兔子对数，避免了递归的重复计算，从而高效地得出结果。最终的解决方案时间复杂度为O(A)，空间复杂度为O(1)，非常适合处理较大的输入数据。
