一、题目背景与分析
题目描述： 小F被神秘力量带入了一个魔幻世界，这里危机四伏。为了在异世界中生存，小F需要找到安全区。异世界可以被表示为一个大小为 ( n \times m ) 的二维数组，每个格子的值代表该位置的危险程度。小F的能力值为 ( X )，当某个格子的危险程度小于等于 ( X ) 时，这个格子是安全的。如果多个安全的格子相邻（上下左右连通），它们可以构成一个安全区。你需要帮助小F计算出一共有多少个安全区。
示例：
- 对于 ( n = 3 )，( m = 3 )，( X = 4 )，二维数组为
[[2, 3, 3], [3, 3, 3], [3, 3, 3]]，只有一个安全区。 - 对于 ( n = 2 )，( m = 2 )，( X = 5 )，二维数组为
[[6, 6], [6, 4]]，只有一个安全区。 - 对于 ( n = 3 )，( m = 3 )，( X = 3 )，二维数组为
[[1, 2, 2], [2, 3, 3], [3, 4, 5]]，只有一个安全区。
二、思路分析
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问题建模：
- 问题可以转化为在二维数组中找到所有连通的安全区域。
- 安全区定义为所有危险程度小于等于 ( X ) 且相邻的格子组成的区域。
-
算法选择：
- 使用深度优先搜索（DFS）来遍历每个格子，标记已经访问过的格子，确保每个安全区只被统计一次。
- 通过递归的方式，从一个安全格子出发，访问其所有相邻的安全格子，直到没有新的安全格子可以访问为止。
-
具体步骤：
- 初始化一个与输入数组大小相同的访问标记数组
visited，用于记录每个格子是否已被访问。 - 定义一个DFS函数，用于递归访问相邻的安全格子。
- 遍历整个二维数组，对于每个未访问过的安全格子，调用DFS函数，每次调用DFS函数后，增加安全区计数。
- 最终返回安全区的数量。
- 初始化一个与输入数组大小相同的访问标记数组
三、代码实现
def solution(n: int, m: int, X: int, a: list[list[int]]) -> int:
# 初始化访问标记数组
visited = [[False] * m for _ in range(n)]
# 定义DFS函数
def dfs(i, j):
# 如果越界或者已经访问过，或者不安全，返回
if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= m or visited[i][j] or a[i][j] > X:
return
# 标记当前格子为已访问
visited[i][j] = True
# 递归访问相邻的格子
dfs(i + 1, j)
dfs(i - 1, j)
dfs(i, j + 1)
dfs(i, j - 1)
# 初始化安全区计数
safe_zones = 0
# 遍历所有格子
for i in range(n):
for j in range(m):
# 如果当前格子是安全的且未访问过
if a[i][j] <= X and not visited[i][j]:
# 调用DFS函数
dfs(i, j)
# 增加安全区计数
safe_zones += 1
# 返回安全区的数量
return safe_zones
if __name__ == '__main__':
print(solution(3, 3, 4, [[2, 3, 3], [3, 3, 3], [3, 3, 3]]) == 1)
print(solution(2, 2, 5, [[6, 6], [6, 4]]) == 1)
print(solution(3, 3, 3, [[1, 2, 2], [2, 3, 3], [3, 4, 5]]) == 1)
四、知识点总结
-
深度优先搜索（DFS）：
- DFS是一种用于遍历或搜索树或图的算法。通过递归或栈来实现。
- 在本题中，DFS用于从一个安全格子出发，访问所有相邻的安全格子，直到没有新的安全格子可以访问为止。
- 关键点在于递归的终止条件和访问标记的使用。
-
二维数组的遍历：
- 遍历二维数组时，通常使用两层嵌套循环，外层循环遍历行，内层循环遍历列。
- 在本题中，遍历二维数组是为了找到所有未访问过的安全格子，调用DFS函数进行深度搜索。
-
访问标记数组：
- 访问标记数组用于记录每个格子是否已被访问，防止重复访问。
- 在本题中，访问标记数组
visited与输入数组a大小相同，初始值为False，表示所有格子均未被访问。
-
连通区域的检测：
- 连通区域是指在二维数组中，所有相邻且满足特定条件的格子组成的区域。
- 在本题中，连通区域是指所有相邻且危险程度小于等于 ( X ) 的格子组成的区域。
五、算法优化
优化深度优先搜索（DFS）算法的效率可以从多个角度入手，包括减少不必要的递归调用、使用合适的数据结构、剪枝等。以下是一些具体的优化方法：
1. 剪枝
剪枝是通过提前终止无效的搜索路径来减少不必要的递归调用，从而提高算法的效率。
示例：连通区域检测
在检测连通区域时，如果某个格子已经被访问过，或者不符合条件（如危险程度大于 ( X )），可以直接跳过，避免不必要的递归调用。
def dfs(i, j):
if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= m or visited[i][j] or a[i][j] > X:
return
visited[i][j] = True
dfs(i + 1, j)
dfs(i - 1, j)
dfs(i, j + 1)
dfs(i, j - 1)
2. 使用合适的数据结构
选择合适的数据结构可以显著提高算法的效率。例如，使用集合（set）来存储已访问的节点，可以快速查找和更新状态。
示例：使用集合存储已访问节点
def solution(n: int, m: int, X: int, a: list[list[int]]) -> int:
visited = set()
def dfs(i, j):
if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= m or (i, j) in visited or a[i][j] > X:
return
visited.add((i, j))
dfs(i + 1, j)
dfs(i - 1, j)
dfs(i, j + 1)
dfs(i, j - 1)
safe_zones = 0
for i in range(n):
for j in range(m):
if a[i][j] <= X and (i, j) not in visited:
dfs(i, j)
safe_zones += 1
return safe_zones
3. 避免重复计算
在某些情况下，可以预先计算一些中间结果，避免在递归过程中重复计算。
示例：预处理危险程度
如果危险程度的计算比较复杂，可以预先计算并存储结果，避免在递归过程中重复计算。
4. 限制递归深度
递归深度过深可能会导致栈溢出，可以通过设置递归深度限制来避免这种情况。Python 中可以使用 sys.setrecursionlimit 来设置递归深度。
示例：设置递归深度
import sys
sys.setrecursionlimit(10000)
def solution(n: int, m: int, X: int, a: list[list[int]]) -> int:
visited = [[False] * m for _ in range(n)]
def dfs(i, j):
if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= m or visited[i][j] or a[i][j] > X:
return
visited[i][j] = True
dfs(i + 1, j)
dfs(i - 1, j)
dfs(i, j + 1)
dfs(i, j - 1)
safe_zones = 0
for i in range(n):
for j in range(m):
if a[i][j] <= X and not visited[i][j]:
dfs(i, j)
safe_zones += 1
return safe_zones
5. 使用迭代代替递归
在某些情况下，使用迭代代替递归可以避免栈溢出问题，并且通常更高效。
示例：使用栈实现DFS
def solution(n: int, m: int, X: int, a: list[list[int]]) -> int:
visited = [[False] * m for _ in range(n)]
def dfs(i, j):
stack = [(i, j)]
while stack:
x, y = stack.pop()
if x < 0 or x >= n or y < 0 or y >= m or visited[x][y] or a[x][y] > X:
continue
visited[x][y] = True
stack.append((x + 1, y))
stack.append((x - 1, y))
stack.append((x, y + 1))
stack.append((x, y - 1))
safe_zones = 0
for i in range(n):
for j in range(m):
if a[i][j] <= X and not visited[i][j]:
dfs(i, j)
safe_zones += 1
return safe_zones
6. 并行处理
对于大规模数据，可以考虑使用并行处理技术，如多线程或多进程，来加速计算。
示例：使用多线程
import threading
def dfs(i, j, visited, a, n, m, X):
stack = [(i, j)]
while stack:
x, y = stack.pop()
if x < 0 or x >= n or y < 0 or y >= m or visited[x][y] or a[x][y] > X:
continue
visited[x][y] = True
stack.append((x + 1, y))
stack.append((x - 1, y))
stack.append((x, y + 1))
stack.append((x, y - 1))
def solution(n: int, m: int, X: int, a: list[list[int]]) -> int:
visited = [[False] * m for _ in range(n)]
threads = []
safe_zones = 0
for i in range(n):
for j in range(m):
if a[i][j] <= X and not visited[i][j]:
thread = threading.Thread(target=dfs, args=(i, j, visited, a, n, m, X))
thread.start()
threads.append(thread)
safe_zones += 1
for thread in threads:
thread.join()
return safe_zones
优化DFS算法的效率可以从多个角度入手，包括剪枝、使用合适的数据结构、避免重复计算、限制递归深度、使用迭代代替递归以及并行处理。通过这些方法，可以显著提高算法的性能，使其在处理大规模数据时更加高效。理解这些优化方法，不仅有助于解决当前的问题，还可以在其他类似的搜索和遍历问题中发挥作用。 通过这次学习，我不仅加深了对深度优先搜索（DFS）这一算法的理解，还掌握了如何将抽象的算法应用于实际问题中。这种从理论到实践的学习过程，使我更加自信地面对各种编程挑战。在未来的学习和工作中，我将继续探索更多有趣的问题，不断提升自己的编程能力和解决问题的能力。
六、学习心得
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理解问题的本质：
- 本题的核心在于找到所有连通的安全区域。通过将问题转化为图的连通区域检测，可以清晰地理解问题的本质。
- 深度优先搜索（DFS）是解决此类问题的有效方法，通过递归的方式，可以高效地遍历所有连通的格子。
-
代码实现的细节：
- 在实现过程中，需要注意边界条件的处理，如越界检查、访问标记的更新等。
- 通过逐步调试和测试，可以确保代码的正确性和鲁棒性。
- 访问标记数组的使用是关键，它可以有效地防止重复访问，提高算法的效率。
-
实际应用的拓展：
- 本题的解法不仅适用于连通区域的检测，还可以应用于其他需要遍历和搜索的场景，如迷宫问题、岛屿问题等。
- 掌握DFS的基本操作和应用，对于解决类似问题具有重要的意义。
