刷题实践选题 & 题解32 二分数字组合 | 豆包MarsCode AI刷题

前言

本文以“32. 二分数字组合”为例，阐述一下AI刷题的功能亮点。

题意简述

小F面临一个有趣的挑战：给定一个数组，她需要将数组中的数字分为两组。分组的目标是使得一组数字的和的个位数等于给定的 A，另一组数字的和的个位数等于给定的 B。除此之外，还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。小F需要计算所有可能的划分方式。

例如，对于数组 [1, 1, 1] 和目标 A = 1，B = 2，可行的划分包括三种：每个 1 单独作为一组，其余两个 1 形成另一组。如果 A = 3，B = 5，当所有数字加和的个位数为 3 或 5 时，可以有一组为非空，另一组为空。

AI助力思路分析

帮助理解题意

很多时候，可能由于题意表述不清楚，并且样例数量过少，导致我们没有理解清楚题意。在AI的帮助下，我们可以让AI在不泄露题目解析的情况下，重述题意，并且帮我们多生成几组样例，便于我们理解清楚题意。

例如这道题，我们问AI：“我没有理解清楚题意，请帮我多生成几组正确的样例输入输出。” AI回答：“好的，我可以帮助你理解题意并提供更多的样例输入输出。

题目描述回顾

你需要将一个数组中的数字分为两组，使得一组数字的和的个位数等于给定的 A，另一组数字的和的个位数等于给定的 B。还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。你需要计算所有可能的划分方式。

更多样例

样例5：

输入：n = 4, A = 2, B = 3, array_a = [1, 2, 3, 4]
输出：2
解释：

• 一组为 [1, 2]，另一组为 [3, 4]，和的个位数分别为 3 和 7，不符合条件。
• 一组为 [1, 3]，另一组为 [2, 4]，和的个位数分别为 4 和 6，不符合条件。
• 一组为 [1, 4]，另一组为 [2, 3]，和的个位数分别为 5 和 5，不符合条件。
• 一组为 [1]，另一组为 [2, 3, 4]，和的个位数分别为 1 和 9，不符合条件。
• 一组为 [2]，另一组为 [1, 3, 4]，和的个位数分别为 2 和 8，符合条件。
• 一组为 [3]，另一组为 [1, 2, 4]，和的个位数分别为 3 和 7，符合条件。
• 一组为 [4]，另一组为 [1, 2, 3]，和的个位数分别为 4 和 6，不符合条件。
  因此，只有两种划分方式符合条件。

”

思路提示

如果我们需要一点思路提示，也可以问AI，并让AI尽量不要给出详细的解答，而是给我们提示引导我们自己想出正确的方法。

例如本题，我们可以询问AI：“我需要一点思路提示，但是不要过于详细，请引导我自己想出题目的正确思路。”

AI回答：“

思路提示

1. 理解问题核心：

   • 你需要将数组分成两组，使得一组的和的个位数等于 A，另一组的和的个位数等于 B。
   • 还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。

2. 数据结构选择：

   • 由于你需要对数组进行划分，考虑使用动态规划（DP）或回溯法来尝试所有可能的划分。
   • 你可以使用一个布尔数组来记录哪些数字被选中，哪些没有被选中。 ”

思路分析

有了AI的提示，我们可以考虑使用动态规划来解决这道题。

记数组为$a$，并且可以定义$dp[i][j][k]$来表示$a$的前$k$个字符，分成的两组数字之和个位数分别为$i$和$j$的情况，这里我们规定$i\leq j$，对于$i\geq j$的情况不做定义，即不推导也不使用。

初始状态，$dp[0][0][0]=1$，其他都默认为$0$。

状态转移方程： 首先我们定义$i\_1=(i-a[k]\%10+10)\%10,j\_1=(j-a[k]\%10+10)\%10$，用来分别表示从两个不同的分组可以转移到当前的状态中。那么：

其中的$\min$和$\max$函数仅仅只是用来保证访问$dp$的第二个下标应当大于等于第一个下标。

这样一来便可以得到最终的$dp[A][B][n], A\leq B$，此外，需要注意的是题意中的特殊情况不可以加$dp[0][A][n]$或者是$dp[0][B][n]$，因为这其中的0表示的是某一分组的数字和个位数是0，而不是该分组为空，所以特殊情况特殊处理即可。

最后，我们可以进行一些空间优化，观察到状态转移方程实际上与第三维无关，我们可以用滚动数组优化掉这一维占用的空间，那么空间复杂度为$O(1)$，另外可以分析计算时间复杂度为$O(n)$。

代码

using namespace std;
int solution(int n, int A, int B, std::vector<int> array_a) {
    // Please write your code here
    vector<vector<vector<int>>> dp(10, 
                                vector<vector<int>>(10, 
                                    vector<int>(2, 0)));
    array_a.insert(array_a.begin(), 0);
    dp[0][0][0] = 1;
    int tmp = 0;
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        tmp = (tmp + array_a[k] % 10) % 10;
        for (int i = 0; i < 10; i++) {
            for (int j = i; j < 10; j++) {
            	int tmpi_1, tmpj_1;
            	tmpi_1 = (i - array_a[k] % 10 + 10) % 10;
            	tmpj_1 = (j - array_a[k] % 10 + 10) % 10;
                dp[i][j][k&1] = dp[min(tmpi_1, j)][max(tmpi_1, j)][(k^1)&1] + 
                			  dp[min(i, tmpj_1)][max(i, tmpj_1)][(k^1)&1];
            }
        }
    }
    return dp[min(A, B)][max(A, B)][n&1] + (tmp == A ? 1 : tmp == B);
}