魔法甜点之和| 豆包MarsCode AI刷题

用户65308323837
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在这篇笔记中，我将通过分析一道有关甜点喜爱值的组合问题，分享我的学习心得与方法。这道题目来自豆包MarsCode AI的刷题平台，题目涉及到一个在给定条件下，如何通过选择甜点并使用魔法来达到某个特定喜爱值之和。以下是题目的详细解析和我在解决过程中的思路总结。

问题描述

题目中有 N 个甜点，每个甜点有一个固定的喜爱值。你有 M 个魔法棒，每个魔法棒可以将某个甜点的喜爱值变为其阶乘。你的目标是选择一些甜点，可能使用魔法棒，将它们的喜爱值之和恰好为目标值 S。每个甜点只能使用一次魔法棒，且魔法棒可以用于任意甜点或者完全不使用。

问题的核心思想

这个问题本质上是一个 背包问题，但与传统的背包问题不同的是，你不仅要考虑每个甜点的原始喜爱值，还要考虑将每个甜点的喜爱值变为阶乘后的情况。每个甜点可以选择两种状态：一种是保持原值，另一种是变为其阶乘值。我们需要通过选择不同的甜点，并决定是否使用魔法棒，来满足总和为 S。

解题思路

在本题中，我们使用 动态规划 来解决。具体来说，定义一个状态 f[(i, j)]，表示使用了 i 个魔法棒，且当前甜点总喜爱值为 j 的方案数。这样的问题可以通过以下步骤进行求解：

  1. 状态转移：

    • 如果我们选择当前的甜点原始值 like[i]，则该状态转移为 f[(i, j + like[i])]。
    • 如果我们选择使用魔法棒将当前甜点的喜爱值转为其阶乘值 magic[like[i]]，则该状态转移为 f[(i + 1, j + magic[like[i]])]。

  2. 初始化：

    • f[(0, 0)] = 1，表示未选择任何甜点时，喜爱值为 0 的方案只有 1 种。

  3. 遍历所有甜点：对于每个甜点，考虑两种情况：

    • 直接使用它的原始喜爱值。
    • 使用魔法棒将其喜爱值转化为阶乘值。

  4. 返回结果：最终，我们需要计算使用不超过 M 个魔法棒，并且总和为 S 的方案数。

代码实现

python复制代码
from collections import defaultdict

# 计算阶乘的魔法数组
magic = [1] * 100

def pre():
    for i in range(1, 100):
        magic[i] = magic[i - 1] * i

def solution(n, m, s, like):
    pre()
    f = defaultdict(int)  # 使用defaultdict来初始化map
    f[(0, 0)] = 1  # 初始状态

    for i in range(1, n + 1):
        g = f.copy()  # 备份当前的状态
        for (a, b), v in g.items():
            if b + like[i - 1] <= s:  # 加入"喜欢"的数量
                f[(a, b + like[i - 1])] += v
            if a + 1 <= m and b + magic[like[i - 1]] <= s:  # 加入"喜欢的阶乘"
                f[(a + 1, b + magic[like[i - 1]])] += v

    sum_ = 0
    for i in range(m + 1):
        sum_ += f[(i, s)]  # 累加满足条件的结果
    
    return sum_

if __name__ == "__main__":
    # 你可以在这里添加更多的测试案例
    print(solution(3, 2, 6, [1,2,3]) == 5 )
    print(solution(3, 1, 1, [1,1,1]) == 6 )

代码详解

  1. 阶乘预处理：首先，我们用 pre() 函数预处理了一个 magic 数组，它存储了从 1 到 99 的阶乘值。因为阶乘增长非常快，这个数组的大小和范围都设置得适合题目的输入限制。

  2. 动态规划数组：我们使用 f[(a, b)] 来记录不同状态下的方案数，其中 a 表示使用了多少个魔法棒，b 表示当前的甜点喜爱值之和。使用 defaultdict(int) 来避免在访问不存在的键时出现错误。

  3. 状态转移：对于每个甜点，我们从备份状态 g 中遍历每一种可能的状态转移：

    • 直接加上当前甜点的喜爱值 like[i-1]。
    • 使用魔法棒将当前甜点的喜爱值转化为阶乘值 magic[like[i-1]]。

  4. 最终结果：遍历所有可能使用的魔法棒数量 i，累加所有使得总喜爱值恰好为 S 的方案数。

学习总结

在这道题目中，我再次深刻感受到了 动态规划 的强大。通过状态压缩和备份，能够有效地解决这个问题。尤其是对于类似背包问题的变种，我们需要充分考虑每个物品的不同选择，尤其是一些特殊操作（如阶乘）的影响。

  1. 高效的状态管理：动态规划中状态的选择和管理非常重要。在这道题中，我们通过备份当前状态并进行遍历，确保了每种可能的方案都能被考虑到，避免了重复计算。
  2. 阶乘的快速增长：阶乘增长非常快，因此我们通过预处理将其存储起来，减少了重复计算。
  3. 错误处理与边界条件：题目中对魔法棒的数量和喜爱值总和做了限制，因此在代码中需要仔细处理每个状态转移时的边界条件，确保不会出现越界的情况。

对其他同学的学习建议

  1. 多做动态规划题目：动态规划题目通常涉及到状态压缩、备份、转移等技巧，多做一些类似题目能够加深对该算法的理解。
  2. 阶乘和指数问题：面对阶乘、指数等快速增长的函数时，务必考虑预处理和范围控制。
  3. 复盘错误：如果在学习过程中遇到不懂的部分，可以尝试从更简单的案例入手，逐步增加复杂度，复盘和总结错误，帮助自己加深理解。

通过不断练习和总结，我逐渐掌握了动态规划的精髓，也在不断提升自己解题的效率和能力。希望我的笔记对大家有所帮助！

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