题解——25. DNA序列编辑距离 | 豆包MarsCode AI刷题

原题截图

题意分析

有两个字符串，有三种操作：1. 在字符串的任意位置添加任意一个字符；2. 删除字符串中的任意一个字符；3. 将字符串中的任意一个字符修改为任意的其他字符。问最少需要多少次操作，能将第一个字符串变为第二个字符串。

解题思路

本题是一道经典算法问题：编辑距离（但由于本人动态规划较弱，思考较长时间后，还是上网查询了题解才做出本题）。题目的含义较为简单，即最少多少次增、删、改操作后能将一个字符串变为另一个字符串。经过思考可以发现，本题难以使用简单的贪心算法得出最优解，于是考虑使用动态规划。

使用动态规划解决本题时，可以定义二维数组int dp[][]，设第一个字符串为s，第二个字符串为t，dp[i][j]代表由s的前i个字符组成的字符串，最少在经过dp[i][j]次操作后，可以变为由t的前j个字符组成的字符串。然而，转移状态的方法我却思考很长时间都没有想到，在查询题解后，我使用了两层循环，并定义了状态转移方程dp[i][j] = min({dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j-1] + (s[i]==t[j] ? 0 : 1)});，即字符串s的前i个字符，可以由

1. 删除第i个字符，然后执行dp[i-1][j]步某种操作；

2. 执行dp[i][j-1]步某种操作，然后在末尾添加字符串t的第j个字符；

3. 对前i-1个字符的部分执行dp[i-1][j-1]步操作，变为t的前j-1个字符，然后将最后一个字符修改为t的第j个字符（如果最后一个字符和t的j个字符相同则无需修改）。

这三种方法之一，变为字符串t的前j个字符，最小操作次数即为上述3种操作所需次数的最小值。 对于初始状态，可以用dp[i][0]代表从字符串s的前i个字符变为空串所需的操作次数，用dp[0][j]代表从空串变为字符串t的前j个字符所需的操作次数，容易得出，设字符串s, t的长度分别为n, m，对于$0\leq i\leq n$，dp[i][0] = i，对于$0\leq j\leq m$，dp[0][j] = j。

最后，在整个dp[][]数组规划完成后，取dp[n][m]即为答案。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int solution(std::string s, std::string t)2
{
    int n=s.size(), m=t.size();
    vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(m+1));
    s.insert(0,1,'0');
    t.insert(0,1,'0');
    for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0] = i;
    for(int j=0;j<=m;j++) dp[0][j] = j;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j] = min({dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j-1] + (s[i]==t[j] ? 0 : 1)});
        }
    }
    return dp[n][m];
}

总结

本题使用动态规划算法解决，设第一个字符串长度为$n$，第二个字符串长度为$m$，则时间复杂度为$O(nm)$，空间复杂度为$O(nm)$，如果你有复杂度更优的解法，欢迎在下方评论。