个人题解|最大乘积区间问题

问题描述

小R手上有一个长度为 n 的数组 (n > 0)，数组中的元素分别来自集合 [0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024]。小R想从这个数组中选取一段连续的区间，得到可能的最大乘积。

你需要帮助小R找到最大乘积的区间，并输出这个区间的起始位置 x 和结束位置 y (x ≤ y)。如果存在多个区间乘积相同的情况，优先选择 x 更小的区间；如果 x 相同，选择 y 更小的区间。

注意：数组的起始位置为 1，结束位置为 n。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, arr = [1, 2, 4, 0, 8]
输出：[1, 3]

思路：

这个问题要求我们找到一个连续子数组，其乘积最大。由于数组元素仅来自特定的集合，这使得问题更具挑战性，但同时也可以通过一些技巧和优化来解决。

1. 暴力解法：直接计算所有子数组的乘积，记录最大值及其对应的区间。但是这种方法的时间复杂度为 O(n^2)，当 n 较大时不够高效。
2. 双指针技巧：我们可以使用双指针来处理连续区间的乘积计算。具体来说，可以通过维护一个左指针和右指针，不断扩大右指针的范围，计算当前区间的乘积。当遇到乘积为 0 时，可以跳过这个位置（因为乘积为 0 的区间无法提供最大的乘积）。
3. 动态更新最大乘积：我们在遍历过程中不断更新当前乘积，并记录最大乘积对应的区间。如果遇到相同的最大乘积，优先选择左边界较小的区间，如果左边界相同则选择右边界较小的区间。

暴力解决法

代码实现

def solution(n: int, arr: list[int]) -> list[int]:
    # 初始化
    max_product = float('-inf')  # 用负无穷初始化最大乘积
    start = 0  # 最大乘积的区间起始位置
    end = 0    # 最大乘积的区间结束位置
    temp_start = 0  # 临时起始位置，用于记录当前子数组起始
    
    # 使用两个指针遍历数组，左指针为 `i`, 右指针为 `j`
    for i in range(n):
        product = 1  # 初始化每个子区间的乘积为 1
        
        # 从 i 开始扩展右指针
        for j in range(i, n):
            product *= arr[j]  # 更新当前区间的乘积
            
            # 如果当前乘积大于最大乘积，则更新最大乘积和区间
            if product > max_product:
                max_product = product
                start = i + 1  # 起始位置 +1，符合题目要求
                end = j + 1    # 结束位置 +1，符合题目要求
    
    return [start, end]

解释：

1. 外层循环：for i in range(n) 用来固定子数组的起始位置。
2. 内层循环：for j in range(i, n) 用来从 i 开始扩展到数组的其他元素，计算当前子数组的乘积。
3. 乘积更新：每当计算出一个新的子数组的乘积，就判断是否大于当前记录的最大乘积，如果是，就更新最大乘积以及对应的区间。
4. 最终返回：返回最大乘积的子数组的起始和结束位置，注意返回的是 1-based 索引。

时间复杂度：

• 外层循环遍历每个元素：O(n)
• 内层循环会遍历从 i 到 n 的所有元素，最坏情况下也遍历 n 次。

因此，总的时间复杂度为 O(n^2)，这种复杂度对于较小的输入是可以接受的。

双指针解决法

要使用 双指针 来解决这个问题，我们需要巧妙地利用双指针来维护一个滑动窗口，避免重复计算每个子数组的乘积。双指针的核心思想是通过不断扩展或收缩窗口来跟踪乘积，并记录最大乘积区间。

方案说明：

1. 我们可以使用一个滑动窗口来表示当前的子数组。窗口由两个指针 left 和 right 组成，left 是区间的起始位置，right 是区间的结束位置。
2. 乘积计算：每次扩展 right 指针时，我们都更新当前区间的乘积。若乘积变得非常大，我们记录该区间的乘积和起始位置。如果遇到乘积为零，跳过该位置，因为乘积会被清零。
3. 收缩窗口：当我们发现乘积过大时，可以尝试收缩窗口（通过增大 left 指针），以便优化乘积。这里不需要显式地缩小窗口，只要遇到乘积为 0 时自动跳过即可。

双指针解法：

我们可以从头开始，扩展 right 指针，并在每次扩展时更新当前的乘积。当乘积达到最大时，记录该区间。如果遇到乘积为 0，直接跳到下一个可能的有效区间。

代码实现：

def solution(n: int, arr: list[int]) -> list[int]:
    # Edit your code here
    max_product = float('-inf')  # 最大乘积，初始化为负无穷
    start = 0  # 最大乘积的区间起始位置
    end = 0    # 最大乘积的区间结束位置
    
    # 双指针：左指针和右指针
    left = 0
    product = 1  # 当前子数组的乘积
    
    for right in range(n):
        product *= arr[right]  # 扩展右指针，更新当前区间的乘积
        
        # 如果乘积大于当前最大乘积，更新结果
        while left <= right and product > max_product:
            max_product = product
            start = left + 1  # 起始位置 + 1，符合题目要求
            end = right + 1    # 结束位置 + 1，符合题目要求
        
        # 如果当前乘积为 0，则重置，跳过乘积为零的区间
        if arr[right] == 0:
            left = right + 1  # 跳过零元素
            product = 1  # 重新开始乘积计算
        print(f"start = {start},end = {end}")
    return [start, end]
if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here
    print(solution(5, [1, 2, 4, 0, 8]) == [1, 3])
    print(solution(7, [1, 2, 4, 8, 0, 256, 0]) == [6, 6])

解释：

1. 双指针维护滑动窗口：

   • left 和 right 分别表示当前区间的左右边界，初始时我们只考虑长度为 1 的区间（即只有一个元素）。
   • 通过扩展 right 指针来扩大当前的窗口，并计算该区间的乘积。

2. 乘积更新：

   • 每次 right 扩展时，我们更新当前区间的乘积（即将 arr[right] 乘到当前乘积上）。
   • 如果当前乘积大于历史最大乘积，我们就更新最大乘积，并记录该区间的起始和结束位置。

3. 处理零值：

   • 如果 arr[right] 为零，乘积会被清零，因此需要重置乘积，并将 left 指针跳到 right + 1，表示从下一个位置重新开始计算子数组乘积。

4. 返回值：

   • 最终返回的是乘积最大子数组的起始和结束位置，注意题目要求是 1-based 索引，因此需要在 start 和 end 位置上加 1。

时间复杂度分析：

• 时间复杂度：由于我们仅遍历一次数组，并且对于每个元素最多做一次乘积计算和更新，因此总的时间复杂度是 O(n) 。
• 空间复杂度：空间复杂度为 O(1) ，只需要常数的空间来维护变量。

小结：

今天的题目比较简单，算是巩固复习以前的知识点了，近期在青训营也刷了一些题目，发现有些题目给的样例结果好像是错的，代码运行一直不通过，希望工作人员能解决一下。另外，今天青训营就结束了，明天也将迎来24年的最后一个月，希望往后的日子，自己能坚持刷题打卡，学习新技术，不断充实自身，如果你恰好也看到了这篇文章，请见谅，我也才刚开始学写笔记，我会继续加油的。

鲜衣怒马少年时，不负韶华行且知