小U和字符`'R'`的喜好 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小U非常喜欢字符'R'，并且定义字符串的权值为字符'R'的出现次数。现在她手上有一个长度为n的字符串s，由字符'R'和'B'组成。她想知道，在所有长度为n、仅由字符'R'和'B'组成的字符串中，字典序不小于字符串s的字符串的权值之和是多少。由于结果可能很大，答案需要对$10^9+7$取模。

例如，字符串"RRBRB"的权值为 3，因为其中包含 3 个字符'R'。

测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,s = "RBR"
输出：7

样例2：

输入：n = 4 ,s = "RRBB"
输出：12

样例3：

输入：n = 2 ,s = "BB"
输出：4

题目分析

我们需要计算所有长度为 n 且字典序不小于给定字符串 s 的字符串中，字符 'R' 的出现次数之和。由于结果可能很大，答案需要对 10^9+7 取模。

关键算法

快速幂： 由于结果需要对 $10^9+7$ 取模，我们可以使用快速幂来加速计算。快速幂（Fast Power）是一种算法，用于快速计算底数的n次幂。其时间复杂度为O(log2N)，与朴素的O(N)相比，效率有了极大的提高。‌快速幂算法的基本思想是通过将指数分解为二进制形式，从而减少乘法的次数。

递推法

1. 动态规划：

   • 我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义 dp[i][j] 表示前 i 个字符中，字符 'R' 出现 j 次的字符串的权值之和。
   • 初始状态：dp[0][0] = 1，表示空字符串的权值为 1。
   • 状态转移：对于每个位置 i，我们可以选择放 'R' 或 'B'，并更新 dp 数组。

2. 计算权值之和：

   • 对于每个位置 i，如果当前字符是 'B'，则我们需要计算所有可能的字符串的权值之和。
   • 如果当前字符是 'R'，则直接累加权值

组合数

如果要求取所有字典序大于等于原串的字符串，我们可以从头开始枚举每一个字符，这时会分为两种情况：

1. s[i]为'R'：说明没得改，如果这个字符改为'B',则不能满足题设条件。
2. s[i]为'B'：这时我们可以尝试将这个字符改为'R'，这样我们会发现，修改该字符后，后方所有字符无论怎样修改，该字符串的字典序都是大于原串的，我们直接使用组合数求出后面所有字符的(情况总数) * (期望的R字符数量)

很显然，修改情况数即为 $2^{n-i}$，而期望则为i前面所有的R字符数量+后面所有字符数量/2。

这里的除以2可以使用乘法逆元，但由于前方的情况总数是2的次幂，这里的除以2可以直接被约分。

PS：乘法逆元：在 $\%p$ 的情况下(p为大于2的质数)，$1/x$可以被转化为$x^{(p-2)} \% p$，其具有相应的数学特性。

参考代码

const int mod = 1e9+7;

ll qmi(ll a, ll b) {
    if(b < 0) return 0;
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int solution(int n, string s) {
    ll cnt = 0, ans = 0;
    s = ' ' + s;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(s[i] == 'B') {
            ans = (ans + (cnt + 1) * qmi(2,n-i) % mod + qmi(2,n-i-1) * (n - i) % mod) % mod;
        } else cnt ++;
    }
    ans = (ans + cnt) % mod;
    return ans;
}

总结

最后，让我们用MarsCode AI为本题进行一次总结，看看它有何高见。

关键点

• 快速幂：通过快速幂函数 qmi，可以高效地计算幂次，避免溢出。
• 动态更新权值：在遍历字符串时，根据当前字符是 'R' 还是 'B'，动态更新权值之和。
• 取模操作：在每次更新权值时，都对 10^9+7 取模，确保结果不会溢出。

总结

当前代码通过遍历字符串 s，并根据当前字符是 'R' 还是 'B'，动态更新权值之和。使用快速幂函数 qmi 来高效计算幂次，并在每次更新权值时对 10^9+7 取模，确保结果的正确性。

希望这个总结能帮助你更好地理解当前代码的实现思路。如果有任何疑问或需要进一步的解释，请随时告诉我。