问题
题目列表第25道：DNA序列编辑距离，难度为易
问题描述
小R正在研究DNA序列，他需要一个函数来计算将一个受损DNA序列（dna1）转换成一个未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。编辑步骤包括：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。
测试样例
样例1：
输入：
dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1
样例2：
输入：
dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4
样例3：
输入：
dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3
样例4：
输入：
dna1 = "A",dna2 = "T"
输出：1
样例5：
输入：
dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"
输出：4
解题思路
这个问题实际上是经典的「编辑距离」问题的一个变种。我们发现，求解一个串到另一个串的最少编辑步骤的问题，可以分解为许多求解对应子串最少编辑步骤的子问题。因此，想要求出原问题的答案，可以尝试使用动态规划的方法。
说到动态规划，就不得不提两个使用条件“重叠子结构”和“最优子结构”。前者是指原问题能够分解为几个相互联系的单阶段问题，且一定是同一类型的子问题。必须利用前面子结构计算出的结果，用递推不断地调用同一个问题。而“最优子结构”的意思是全局最优解一定能够拆成子问题的最优解，换句话说，整体问题的最优解一定包含子问题的最优解。不难看出，我们现在求解的问题符合这两个使用条件，也就可以使用动规来做。
动态规划的重点在于数组含义的定义，写出状态转移方程以及边界条件的设定。我们这里定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 dna1 的前 i 个字符转换为 dna2 的前 j 个字符所需的最小编辑步骤。
推敲状态转移方程，不难发现，如果 dna1[i-1] == dna2[j-1]，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。否则，dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。其中，dp[i-1][j] + 1表示删除 dna1 的第 i 个字符。dp[i][j-1] + 1：表示在 dna1 的第 i 个位置插入 dna2 的第 j 个字符。dp[i-1][j-1] + 1：表示将 dna1 的第 i 个字符替换为 dna2 的第 j 个字符。
至于边界条件，dp[i][0] = i表示将 dna1 的前 i 个字符全部删除，dp[0][j] = j表示在 dna1 的前面插入 dna2 的前 j 个字符。
具体实现
思路阐明后，代码的实现还是比较简单的。动态规划的思路大致可以分为初始化dp数组，初始化边界条件，填充dp数组这几步。完整代码如下。
len1, len2 = len(dna1), len(dna2)
dp = [[0] * (len2 + 1) for _ in range(len1 + 1)]
# 初始化边界条件
for i in range(len1 + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(len2 + 1):
dp[0][j] = j
# 动态规划填充dp表格
for i in range(1, len1 + 1):
for j in range(1, len2 + 1):
if dna1[i - 1] == dna2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else:
dp[i][j] = 1 + min(dp[i - 1][j], # 删除
dp[i][j - 1], # 插入
dp[i - 1][j - 1])# 替换
return dp[len1][len2]
结语
通过这道题，我们对动态规划算法的使用条件，写法和原理有了更加深刻的认知，希望以后能逐步挑战更多更难的题目。
