273.最大异或和计算 | 豆包MarsCode AI刷题

中等题：最大异或和计算

问题描述：

给定两个长度为 n 的数组 a 和 b，定义 f(c) 为数组 c 的所有元素的总和。现在，你需要恰好删除数组 a 或者数组 b 中的一个元素，使得 f(a) 和 f(b) 的异或结果最大。请输出这个最大的异或和。

测试样例

样例1:

输入：n = 3,a = [1, 2, 3],b = [3, 2, 1]
输出：5

样例2:

输入：n = 4,a = [4, 5, 6, 7],b = [7, 8, 9, 10]
输出：51

样例3:

输入：n = 5,a = [10, 20, 30, 40, 50],b = [50, 40, 30, 20, 10]
输出：248

解题思路：

我们需要从两个数组 a 和 b 中，恰好删除一个元素，使得剩下两个数组的总和的 异或值 最大。

删除元素后计算异或值：

• 从a中删除某元素，新的总和就为sum(a) - a[i]
• 从b中删除某元素，新的总和就为sum(b) - b[i]
• 对于每一次删除 我们考虑以下两种情况(因为只删除a数组或b数组中的一个元素：
  • sumA - a[i]) ^ sumB
  • sumA ^ (sumB - b[i])

每一次都更新最大值

算法描述

算法分为以下几步：

1. 计算初始总和：先求出 sumA 和 sumB。

2. 遍历数组：依次删除 a 和 b 的每个元素，计算对应的异或值。

3. 更新最大值：将每次计算的异或值与当前最大值比较，更新最大值。

4. 返回结果：最终返回最大值。

代码：

def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
    sumA = sum(a)
    sumB = sum(b)

    maxXor = 0

    # 一次遍历数组 a 和 b
    for i in range(n):
        newSumA = sumA - a[i]
        newSumB = sumB - b[i]
        maxXor = max(maxXor, newSumA ^ sumB, sumA ^ newSumB)
    
    return maxXor

复杂度分析：

时间复杂度

• sum(a) 和 sum(b) 的计算需要 $O(n)$。
• 遍历两个数组的删除操作也需要 $O(n)$。
• 总时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

• 使用了固定的临时变量（sumA、sumB、maxXor），不需要额外存储空间。
• 空间复杂度为 $O(1)$。

优化？

其实本题的做法就等同于暴力算法，就是一个一个的去循环比较，并且不断更新最大值。那么有没有优于暴力算法的方式呢？

并没有，因为暴力算法的时间复杂度已经等于$O(n)$了，因为要从a或b数组中删除一个元素，我们需要至少遍历一次才能得出所有可能的删除结果。因此时间复杂度不可能低于$O(n)$。

暴力算法通过一次性计算总和（sum(a) 和 sum(b)），然后利用简单的减法和异或运算高效地得到每种删除后的结果。这种方法避免了任何不必要的重复计算。

并且仅仅使用了一些临时变量，并不需要额外的存储空间。