学习笔记：最小和数组构造问题
题目解析
问题描述：
我们需要构造一个长度为 nn 的数组，满足以下条件：
- 数组中的所有元素 两两不同；
- 数组中所有元素的最大公约数 (GCD) 为 kk；
- 数组元素之和尽可能小。
目标： 输出满足条件的数组元素之和的最小值。
思路解析
关键观察：
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最大公约数为 kk： 如果数组的最大公约数为 kk，那么数组的每个元素都必须是 kk 的倍数。 我们可以将数组构造为：
a=[k,2k,3k,…,nk]a = [k, 2k, 3k, \ldots, nk]
这样，数组的最大公约数显然为 kk。
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两两不同： 上述数组中的每个元素显然两两不同，因为 k,2k,…,nkk, 2k, \ldots, nk 是 kk 的不同倍数。
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和尽可能小： 在上述构造中，元素之和为：
k×(1+2+3+…+n)=k×n(n+1)2k \times (1 + 2 + 3 + \ldots + n) = k \times \frac{n(n + 1)}{2}
这个构造保证了数组元素之和最小。
代码实现
def solution(n: int, k: int) -> int:
# 数组和最小值公式
return k * (n * (n + 1) // 2)
if __name__ == '__main__':
print(solution(n=3, k=1)) # 输出: 6
print(solution(n=2, k=2)) # 输出: 6
print(solution(n=4, k=3)) # 输出: 30
样例解析
- 样例 1: 输入：n=3,k=1n = 3, k = 1 构造的数组为：[1, 2, 3] 数组和为：1+2+3=61 + 2 + 3 = 6
- 样例 2: 输入：n=2,k=2n = 2, k = 2 构造的数组为：[2, 4] 数组和为：2+4=62 + 4 = 6
- 样例 3: 输入：n=4,k=3n = 4, k = 3 构造的数组为：[3, 6, 9, 12] 数组和为：3+6+9+12=303 + 6 + 9 + 12 = 30
复杂度分析
- 时间复杂度： 构造数组和计算和的公式均为常数时间，时间复杂度为 O(1)O(1)。
- 空间复杂度： 仅使用常数空间，空间复杂度为 O(1)O(1)。
知识总结
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最大公约数（GCD）的特性： 数组的所有元素必须是 kk 的倍数，最大公约数才能是 kk。
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数学公式应用： 等差数列求和公式：
Sum=n(n+1)2\text{Sum} = \frac{n(n + 1)}{2}
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贪心思想： 在满足条件的前提下，优先选择最小的元素，确保数组和最小。
学习建议
- 理解问题约束： 理解题目中的关键条件（如 GCD、两两不同），能帮助快速确定解题思路。
- 数学归纳和简化： 尽量利用数学公式或特性（如等差数列求和）简化代码和计算。
- 练习更多构造类问题： 如数组构造、字符串构造题目，提升思维灵活性。
总结
通过分析题目条件，运用数学推导可以直接得出数组和的最优公式，体现了数学与编程结合的重要性。这道题目是理解 GCD 应用和数组构造问题的经典案例。
