AI 刷题 32. 二分数字组合 题解 | 豆包MarsCode AI刷题

这个问题要求我们将给定的数组分成两组，使得每组数字的和的个位数分别等于给定的 A 和 B。这里还允许一种特殊情况，其中一组可以为空，但剩下的数字和的个位数必须等于 A 或 B。

问题分析

假设我们有一个数组 arr，我们希望将它分成两组，分别记为 group1 和 group2，使得：

• group1 的和的个位数等于给定的 A；
• group2 的和的个位数等于给定的 B。

思路与解法

这个问题可以通过动态规划（DP）的方法来解决。首先，我们可以注意到，数组中所有元素的和的个位数是决定能否满足分组条件的关键。

1. 动态规划状态定义

我们定义一个动态规划数组 dp，其中 dp[i][j] 表示考虑前 i 个元素时，能否将其分配成两组，使得第一组的和的个位数为 i % 10，第二组的和的个位数为 j % 10。

具体来说：

• dp[i][j] = True 表示我们可以找到一个划分，使得第一组的和的个位数为 i % 10，第二组的和的个位数为 j % 10。
• 初始状态时，dp[0][0] = True，表示如果没有任何元素，两个组的和都为 0（即个位数为 0）。

2. 状态转移

我们从左到右遍历数组中的元素，对于每一个元素 x，更新 DP 状态。考虑将当前元素 x 分配到第一组或第二组：

• 如果我们将 x 加入第一组，那么新的第一组的和的个位数变为 (current_first_group_sum + x) % 10；
• 如果我们将 x 加入第二组，那么新的第二组的和的个位数变为 (current_second_group_sum + x) % 10。

通过这种方式，我们可以更新 dp 数组，最终确定是否能够找到符合条件的划分。

3. 特殊情况

在某些情况下，可能存在一组为空，另一组的和的个位数为 A 或 B。这种情况可以通过检查 dp 数组中的状态来实现。如果 dp[A][0] 或 dp[0][B] 为 True，则说明这种划分是可能的。

代码解析

1. dp 数组的初始化：

   • 我们初始化了一个 dp 数组，dp[i][j] 表示考虑前 i 个数字时，能否将其分配成两组，使得第一组的和的个位数为 i % 10，第二组的和的个位数为 j % 10。初始状态 dp[0][0] 为 True，表示没有数字时，两个组的和的个位数都为 0。

2. 遍历数组元素并更新 dp 数组：

   • 我们遍历每个元素，考虑将其加入到第一组或第二组，并更新 dp 状态。如果当前 dp[i][j] 为 True，表示前 i 个元素可以划分成两组，满足某个条件。我们尝试将当前元素加入到每组，更新 dp 数组。

3. 特殊情况的处理：

   • 我们检查 dp[A][0] 和 dp[0][B] 是否为 True，这表示允许一组为空的情况。

4. 最终结果：

   • 如果 dp[A][B] 为 True，则表示存在符合条件的划分。

时间复杂度

• dp 数组的大小为 10x10，因为我们只关心个位数，所以状态空间大小是常数 O(10 * 10)。
• 遍历每个元素并更新 dp 状态的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组 arr 的长度。
• 因此，总时间复杂度为 O(n)，是线性复杂度，适合较大的输入规模。

总结

通过动态规划的方法，我们可以有效地解决这个分组问题。主要思路是利用 DP 数组记录每个状态是否可行，并逐步更新状态。通过这种方法，可以解决大部分划分问题，并且时间复杂度较低，能够处理较大规模的输入。