题目要求我们最小化一个公式：
∣(𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗])2−𝑘2∣∣(a[i]−b[j])2−k2∣
其中，𝑎[𝑖]a[i] 和 𝑏[𝑗]b[j] 分别是两个数列 𝑎a 和 𝑏b 中的元素，且公式的目标是选择一个 𝑎[𝑖]a[i] 和一个 𝑏[𝑗]b[j]，使得这个公式的值最小。
思路分析
我们需要计算每对 (𝑎[𝑖],𝑏[𝑗])(a[i],b[j]) 的值：
𝑓(𝑖,𝑗)=∣(𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗])2−𝑘2∣f(i,j)=∣(a[i]−b[j])2−k2∣
其中：
- (𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗])2(a[i]−b[j])2 是两个数的差的平方，表示两个数的差异；
- 𝑘2k2 是常数，表示与这个差的平方的关系。
显然，公式中最小化的目标是让 (𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗])2(a[i]−b[j])2 尽可能接近 𝑘2k2，即让差的平方尽可能接近 𝑘2k2。
关键优化点
由于计算每对 (𝑎[𝑖],𝑏[𝑗])(a[i],b[j]) 的结果需要 𝑂(𝑛×𝑚)O(n×m) 的时间复杂度，对于 𝑛,𝑚n,m 可以达到 105105，这个做法显然不可行。我们需要利用一些优化技巧来降低复杂度。
数学分析
目标是最小化：
𝑓(𝑖,𝑗)=∣(𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗])2−𝑘2∣f(i,j)=∣(a[i]−b[j])2−k2∣
可以重写为：
𝑓(𝑖,𝑗)=∣(𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗]−𝑘)×(𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗]+𝑘)∣f(i,j)=∣(a[i]−b[j]−k)×(a[i]−b[j]+k)∣
这是一个关于 𝑎[𝑖]a[i] 和 𝑏[𝑗]b[j] 的差的平方项，因此我们可以通过对 𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗]a[i]−b[j] 进行排序来优化问题。
策略
-
计算差值： 设 𝑑=𝑎[𝑖]−𝑏[𝑗]d=a[i]−b[j]，那么我们需要最小化 ∣𝑑2−𝑘2∣∣d2−k2∣。这里的问题转化为在差值 𝑑d 之中寻找使得 𝑑2d2 最接近 𝑘2k2 的差值 𝑑d。
-
排序与二分查找：
- 对数组 𝑎a 和 𝑏b 进行排序。
- 对于每个 𝑎[𝑖]a[i]，我们希望找到最接近 𝑎[𝑖]−𝑘a[i]−k 和 𝑎[𝑖]+𝑘a[i]+k 的 𝑏[𝑗]b[j] 值。为了高效查找，排序和二分查找是一个有效的策略。
-
最小化距离：
- 使用二分查找，快速找到与目标 𝑎[𝑖]−𝑘a[i]−k 或 𝑎[𝑖]+𝑘a[i]+k 最接近的 𝑏[𝑗]b[j]，这样可以有效地计算出最小的差值。
具体实现步骤
- 对数组 𝑏b 进行排序。
- 对每个 𝑎[𝑖]a[i] 使用二分查找，找到最接近 𝑎[𝑖]−𝑘a[i]−k 和 𝑎[𝑖]+𝑘a[i]+k 的 𝑏[𝑗]b[j]。
- 计算并更新最小的结果。
代码解释
-
排序：
- 我们首先对数组 𝑏b 进行排序，这样可以利用二分查找来快速定位最接近 𝑎[𝑖]−𝑘a[i]−k 和 𝑎[𝑖]+𝑘a[i]+k 的值。
-
二分查找：
- 对每个 𝑎[𝑖]a[i]，我们计算目标值 𝑎[𝑖]−𝑘a[i]−k 和 𝑎[𝑖]+𝑘a[i]+k，然后使用
bisect_left来找到数组 𝑏b 中最接近这两个目标值的位置。 - 对于每个目标值，我们检查二分查找结果的当前位置及其前后位置，计算与目标值 𝑘2k2 的差异，并更新最小值。
- 对每个 𝑎[𝑖]a[i]，我们计算目标值 𝑎[𝑖]−𝑘a[i]−k 和 𝑎[𝑖]+𝑘a[i]+k，然后使用
-
时间复杂度：
- 排序 𝑏b 数组的时间复杂度是 𝑂(𝑚log𝑚)O(mlogm)。
- 对于每个 𝑎[𝑖]a[i]，我们进行二分查找，时间复杂度是 𝑂(log𝑚)O(logm)。因此，总的时间复杂度是 𝑂(𝑛log𝑚+𝑚log𝑚)O(nlogm+mlogm)，适合题目中给定的约束条件。
示例
输入：
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3 3 2
1 4 7
2 3 8
输出：
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1
解释：
- 对于 𝑎[0]=1a[0]=1，我们查找最接近 1−2=−11−2=−1 和 1+2=31+2=3 的 𝑏[𝑗]b[j]，最接近的是 𝑏[1]=3b[1]=3。
- 对于 𝑎[1]=4a[1]=4，最接近的 𝑏[𝑗]b[j] 是 𝑏[1]=3b[1]=3 或 𝑏[2]=8b[2]=8。
- 对于 𝑎[2]=7a[2]=7，最接近的 𝑏[𝑗]b[j] 是 𝑏[2]=8b[2]=8。
最终的最小值是 1。
总结
通过排序和二分查找的方法，我们能够在较大的输入规模下高效地计算出最小值。时间复杂度是 𝑂(𝑛log𝑚+𝑚log𝑚)O(nlogm+mlogm)，在最大规模的情况下也是可行的。
