【264】数组极差最小化问题 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述：小M有一个数组，她可以执行一次操作：选择两个

问题描述

小M有一个数组，她可以执行一次操作：选择两个相邻的元素并将它们合并，合并后的新元素值为原来两个元素的和。合并操作之后，数组的长度将减少1。小M想知道，执行一次操作后，数组的极差（最大值减去最小值）的最小可能值是多少。

示例

样例1：

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输入：n = 3, a = [1, 4, 5]
输出：0

样例2：

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输入：n = 5, a = [3, 6, 2, 8, 7]
输出：5

样例3：

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输入：n = 4, a = [10, 20, 30, 40]
输出：10

解题思路

我们可以通过模拟所有可能的合并操作来求解这个问题。每次合并两个相邻的元素后，数组的长度减少1，且这个新的元素将代替原有的两个元素。最终我们希望能够找出在执行一次合并操作后，数组的极差（即最大值减去最小值）可能的最小值。

主要思路：

极差定义：
- 数组的极差就是最大值与最小值的差，表示数组中数值的波动幅度。
操作限制：
- 只有一次合并操作，且操作只能选择两个相邻的元素。
- 每次合并操作后的新数组长度会减小1。
目标：
- 在合并后，计算数组的极差，并找到可能的最小极差。

解题步骤

边界条件：
- 如果数组的长度为1，说明没有可合并的元素，极差已经为0。
遍历所有相邻元素对进行合并：
- 选择数组中每对相邻的元素，将它们合并，得到一个新的数组。
- 计算这个新数组的极差，即计算最大值与最小值的差。
计算每次合并后的极差：
- 对每个可能的合并操作，生成新的数组，并计算新的极差。
更新最小极差：
- 使用变量来记录当前所有可能极差中的最小值，最终返回这个最小值。

解题代码

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def solution(n: int, a: list) -> int:
    # 如果数组只有一个元素，极差为0
    if n == 1:
        return 0
    
    # 初始化最小极差为正无穷大
    min_range = float('inf')
    
    # 遍历数组，考虑所有可能的合并操作
    for i in range(n - 1):
        # 对于每一个相邻的元素进行合并，产生新的数组
        new_a = a[:i] + [a[i] + a[i + 1]] + a[i + 2:]
        
        # 计算合并后的数组的极差（最大值 - 最小值）
        range_after_merge = max(new_a) - min(new_a)
        
        # 更新最小极差
        min_range = min(min_range, range_after_merge)
    
    # 返回计算得到的最小极差
    return min_range

if __name__ == '__main__':
    # 测试样例
    print(solution(3, [1, 4, 5]))  # 输出: 0
    print(solution(5, [3, 6, 2, 8, 7]))  # 输出: 5
    print(solution(4, [10, 20, 30, 40]))  # 输出: 10

解题思路详细解析

极差的定义

极差是指一个数组中最大值与最小值之间的差异。对于给定数组 a = [a1, a2, a3, ..., an]，其极差就是 max(a) - min(a)。在本问题中，我们的目标是通过合并操作后，使得数组的极差最小。

合并操作的限制

合并操作只能选择相邻的两个元素，合并后的元素值为它们的和。
合并后的新数组长度将减少1，因此我们最终希望通过合并操作，尽可能让数组的极差变小。

最小化极差的策略

通过遍历数组中的每一对相邻元素进行合并，我们可以模拟出多个合并结果，每个合并操作都会影响数组的最大值和最小值。最终，我们需要计算并返回所有合并结果中的最小极差。

详细步骤

初始化：
- 如果数组长度为1，直接返回0。
- 初始化最小极差为正无穷大，以便后续更新最小极差。
遍历数组：
- 对于每一对相邻的元素进行合并。
- 对于每个合并操作，生成新的数组 new_a，计算其极差并更新最小极差。
返回结果：
- 返回所有合并后的数组极差中的最小值。

示例解析

示例1

输入：n = 3, a = [1, 4, 5]

初始数组的极差为 5 - 1 = 4。
合并可能性：
- 合并 1 和 4，得到新数组 [5, 5]，极差为 5 - 5 = 0。
- 合并 4 和 5，得到新数组 [1, 9]，极差为 9 - 1 = 8。
最小极差为 0。

示例2

输入：n = 5, a = [3, 6, 2, 8, 7]

初始数组的极差为 8 - 2 = 6。
合并可能性：
- 合并 3 和 6，得到新数组 [9, 2, 8, 7]，极差为 9 - 2 = 7。
- 合并 6 和 2，得到新数组 [3, 8, 8, 7]，极差为 8 - 3 = 5。
- 合并 2 和 8，得到新数组 [3, 6, 15, 7]，极差为 15 - 3 = 12。
- 合并 8 和 7，得到新数组 [3, 6, 2, 15]，极差为 15 - 2 = 13。
最小极差为 5。

示例3

输入：n = 4, a = [10, 20, 30, 40]

初始数组的极差为 40 - 10 = 30。
合并可能性：
- 合并 10 和 20，得到新数组 [30, 30, 40]，极差为 40 - 30 = 10。
- 合并 20 和 30，得到新数组 [10, 50, 40]，极差为 50 - 10 = 40。
- 合并 30 和 40，得到新数组 [10, 20, 70]，极差为 70 - 10 = 60。
最小极差为 10。

复杂度分析

时间复杂度

遍历所有相邻元素对的次数是 n - 1。
对于每次合并操作，生成的新数组的极差需要计算最大值和最小值，这需要遍历整个数组，时间复杂度为 O(n)。
因此，总的时间复杂度是 O(n^2)。

空间复杂度

每次合并操作生成一个新的数组，大小为 n - 1，因此空间复杂度为 O(n)。

总结

本问题通过模拟所有可能的合并操作，计算每次合并后的数组极差，从而找出最小的极差。使用暴力遍历的方法，可以在保证正确性的同时，得出最优解。