个人笔记08：一些关于树的问题小结
一、树形DP（动态规划）：
（例题）村庄里每户人家作为一个节点，这些节点可以组成一个二叉树。可以在二叉树的节点上供应暖炉，每个暖炉可以为该节点的父节点、自身及其子节点带来温暖。给定一棵二叉树，求使整个村庄都暖和起来至少需要供应多少个暖炉？
（思路）若某棵树的所有节点都被供暖，则称该树被“覆盖”。
假设当前节点为root，左右孩子分别为left,right。要覆盖以root为根的树，有两种情况：
（1）若在root处安放暖炉，则孩子left,right一定也会被供暖。此时，只需要保证left的两棵子树被覆盖，同时保证right的两棵子树也被覆盖。
（2）否则，如果root处不安放暖炉，则除了覆盖root的两棵子树之外，孩子left,right之一必须要安放暖炉，从而保证root会被供暖。
由此，可以分析出，对于每个节点root，需要维护三种类型的状态：
状态A：root必须安放暖炉的情况下，覆盖整棵树需要的暖炉的数目。
状态B：覆盖整棵树需要的暖炉数目，无论root是否安放暖炉。
状态C：覆盖两棵子树需要的暖炉数目，无论节点root本身是否安放暖炉。
由上述定义出发，一定有A≥B≥C。
对于节点root而言，设其左右孩子left,right对应的状态变量分别是（LA,LB,LC）和(RA,RB,RC)。状态转移方程为：
A=LC+RC+1，B=min(A,min(LA+RB,RA+LB))。
对于root而言，如果其某个孩子为空，则不能通过在该孩子处安放暖炉的方式为当前节点供暖。因此，该孩子对应的A置为inf。
最终答案为树的根结点对应的状态变量B。
二、二叉树路径长
（例题）在一个二叉树汇总，每层的节点值赋值方向是交替的，第一层从左到右，第二层从右到左，以此类推。小R想知道，在二叉树中两个节点之间x,y的路径长度是多少。
（思路）本题包括两个部分：由节点值确定节点位置，计算节点间路径长度。
为确定节点位置，首先需要知道其所在层数i（从1开始计）的值。第i层节点值的范围为[pow(2,i-1),pow(2,i)-1]。
若i为奇数，则为从左向右编号，否则为从右向左编号，由此确定了节点位置index。
然后，根据xindex,yindex计算它们间的路径长度。求出xindex和yindex的最近公共祖先lcaindex（lca(rootindex,xindex,yindex)）：
1°若当前节点为空（本题不存在此种情形）或当前节点rootindex=xindex或rootindex=yindex，返回rootindex；
2°求Llca=lca(rootindex.left(也即2×rootindex),xindex,yindex)，Rlca=lca(rootindex.right(也即2×rootindex+1),xindex,yindex)。
3°若Llca和Rlca都不为空，则返回rootindex。（本题二叉树无穷，故至此结束）
记根结点深度为0。若最终lcaindex为xindex或yindex，则返回x和y的深度之差，否则返回其深度之和。
