【261】数字替换后的最大和计算 | 豆包MarsCode AI刷题

用户3687145138817
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题目描述：

小M有一个数组，她可以执行一次操作：选择两个相邻的元素并将它们合并，合并后的新元素值为原来两个元素的和。合并操作之后，数组的长度将减少1。小M想知道，执行一次操作后，数组的极差（最大值减去最小值）的最小可能值是多少。

示例：

样例1
输入：
n = 3
a = [1, 4, 5]

输出：
0

样例2
输入：
n = 5
a = [3, 6, 2, 8, 7]

输出：
5

样例3
输入：
n = 4
a = [10, 20, 30, 40]

输出：
10

解题思路：

本题的目标是通过一次合并操作来最小化数组的极差（即最大值减去最小值）。数组的极差是由最大值和最小值决定的，因此要通过合并操作来影响这些值，从而减小极差。

1. 极差的定义：

极差是数组中最大值和最小值之间的差值。例如，对于数组 [1, 4, 5]，最大值是 5，最小值是 1，极差就是 5 - 1 = 4。

2. 合并操作对数组极差的影响：

当选择两个相邻元素进行合并时，合并后的新元素会替代这两个元素，导致数组的长度减少1。需要注意的是，合并后的新元素是这两个元素的和，可能会改变数组的最大值和最小值。

3. 目标：

我们希望通过一次合并操作，使得合并后数组的极差尽可能小。为了实现这一目标，我们可以尝试合并每一对相邻元素，并计算合并后数组的极差，然后选择其中极差最小的合并结果。

4. 具体步骤：

  • 初始极差计算：首先计算数组的极差（即最大值和最小值的差）。
  • 模拟合并操作：对数组中的每一对相邻元素进行合并操作，生成新的数组。合并后的数组的极差是新数组中的最大值减去最小值。
  • 更新最小极差：在每次合并后，更新最小极差。

5. 时间复杂度：

  • 遍历数组中的每一对相邻元素进行合并，时间复杂度为 O(n)。
  • 每次合并后需要计算新数组的最大值和最小值，时间复杂度为 O(n)。
  • 因此，总的时间复杂度是 O(n²)，这在 n 较小的情况下是可以接受的。

解题代码：

pythonCopy Code
def solution(n: int, a: list) -> int:
    # 如果数组只有一个元素，极差为0
    if n == 1:
        return 0
    
    # 初始化最小极差为正无穷大
    min_range = float('inf')
    
    # 遍历数组，考虑所有可能的合并操作
    for i in range(n - 1):
        # 进行合并操作，生成新的数组
        new_a = a[:i] + [a[i] + a[i + 1]] + a[i + 2:]
        # 计算合并后的数组的极差
        range_after_merge = max(new_a) - min(new_a)
        # 更新最小极差
        min_range = min(min_range, range_after_merge)
    
    # 返回计算得到的最小极差
    return min_range

# 测试样例
if __name__ == '__main__':
    print(solution(3, [1, 4, 5]) == 0)
    print(solution(5, [3, 6, 2, 8, 7]) == 5)
    print(solution(4, [10, 20, 30, 40]) == 10)

解题思路详细解析：

  1. 初步分析：

    • 如果数组只有一个元素，极差就是 0，因为没有其他元素可比较。
    • 如果数组有多个元素，我们需要通过选择相邻的两个元素进行合并，得到新的数组，并计算该数组的极差。

  2. 模拟合并操作：

    • 对于数组中的每一对相邻元素，我们尝试将它们合并成一个新元素，并计算合并后的数组极差。合并后的新数组就是将这对元素替换成它们的和，数组长度减1。

  3. 计算极差：

    • 合并后的数组极差是新数组中最大元素和最小元素之差。我们可以通过 max() 和 min() 函数来计算极差。

  4. 更新最小极差：

    • 对每次合并后得到的极差进行比较，最终选取最小的极差作为答案。

  5. 时间复杂度分析：

    • 每次合并操作后，我们需要重新计算新数组的最大值和最小值，这一操作的时间复杂度是 O(n)。
    • 对于每一对相邻元素的合并，我们需要遍历数组一次，因此总的时间复杂度是 O(n²)，这在题目给定的输入范围内是可接受的。

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(n²)

    • 我们需要对数组的每一对相邻元素进行合并，然后计算新数组的极差。每次计算极差的时间复杂度是 O(n)，合并操作有 n-1 种可能，因此总的时间复杂度为 O(n²)。

  • 空间复杂度：O(n)

    • 我们在每次合并时，创建了一个新的数组（最大长度为 n），因此空间复杂度为 O(n)。

总结：

通过模拟每次合并操作并计算合并后的极差，我们可以找到通过一次合并操作后数组的最小极差。虽然这个方法的时间复杂度是 O(n²)，但在输入规模不大的情况下是可行的。在实际应用中，对于大规模输入数据，可能需要进一步优化算法，但本题的解法已经能够解决给定范围内的题目。

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