问题描述
小C拿到了一个长度为 n 的数组 a_1, a_2, ..., a_n，她想知道有多少组 (i, j, k, h, l) 为 "w五元组"。w五元组定义如下：
- 满足条件的下标必须满足
1 ≤ i < j < k < h < l ≤ n； - 数组元素需要满足：
a_i = a_k = a_l，且a_j = a_h，并且a_i > a_j。
目标是求出所有满足条件的w五元组数量，并对结果取模 10^9 + 7。
题目解析
在本题中，我们需要计算满足特定条件的五元组 (i, j, k, h, l) 的数量。每个五元组对应一个满足以下条件的数组下标和元素：
- 下标关系：
1 ≤ i < j < k < h < l ≤ n。 - 数组元素要求：
a[i] = a[k] = a[l]且a[j] = a[h]，并且a[i] > a[j]。
解题思路
我们可以通过暴力枚举所有可能的五元组 (i, j, k, h, l) 来解决这个问题，按以下步骤：
-
条件限制：我们需要枚举所有符合下标关系
i < j < k < h < l的组合。对于每一组组合，需要验证：a[i] = a[k] = a[l]，即i, k, l对应的元素相等。a[j] = a[h]，即j, h对应的元素相等。a[i] > a[j]，即i对应的元素大于j对应的元素。
-
暴力枚举：由于题目要求枚举所有可能的五元组，直接使用五重循环来遍历所有可能的
(i, j, k, h, l)组合，这样每次检查是否符合条件。 -
时间复杂度：因为我们使用了五重循环，因此时间复杂度为 O(n^5)，其中
n为数组的长度。这种复杂度在n较大时可能会很慢，但题目未限制具体的n范围，可能对于一些较小的n足够。 -
模运算：最后的答案需要对
10^9 + 7取模，避免结果溢出。
代码实现
def solution(n: int, a: list) -> int:
count = 0
MOD = 10**9 + 7
# 五重循环枚举所有可能的五元组 (i, j, k, h, l)
for i in range(n):
for j in range(i + 1, n):
if a[i] > a[j]: # 确保 a[i] > a[j]
for k in range(j + 1, n):
if a[k] == a[i]: # 找到 a[k] = a[i]
for h in range(k + 1, n):
if a[h] == a[j]: # 找到 a[h] = a[j]
for l in range(h + 1, n):
if a[l] == a[i]: # 找到 a[l] = a[i]
count += 1
return count % MOD
代码解析
-
变量初始化：
count：用来记录符合条件的五元组数量。MOD：取模常数10^9 + 7。
-
五重循环：
- 外部循环依次遍历所有
i，i从0到n-1。 - 内部循环依次遍历所有
j，j从i+1到n-1，确保i < j。 - 对每一对
(i, j)，我们进一步遍历k、h、l，并检查是否符合题目要求的条件。
- 外部循环依次遍历所有
-
条件判断：
a[i] > a[j]：首先，确保a[i]大于a[j]。a[k] == a[i]、a[h] == a[j]、a[l] == a[i]：检查是否满足相等条件，即i, k, l对应的元素相等，j, h对应的元素相等。
-
计数和取模：
- 如果上述条件都满足，则增加
count。 - 最后返回
count % MOD，确保结果在可接受的范围内。
- 如果上述条件都满足，则增加
时间复杂度
-
由于使用了五重嵌套循环，时间复杂度是 O(n^5)，其中
n是数组的长度。对于较大的n，该算法的运行效率会变得很低。优化：如果
n较大，暴力方法可能不适用，可能需要考虑优化算法，比如使用哈希表或前缀和来加速查找和筛选条件。
示例
输入：
n = 5
a = [5, 3, 5, 3, 5]
-
假设
n=5，数组为[5, 3, 5, 3, 5]，我们需要找出所有满足条件的五元组。 -
枚举结果如下：
(i=0, j=1, k=2, h=3, l=4)：符合条件，因为a[0] = a[2] = a[4] = 5，a[1] = a[3] = 3，且a[0] > a[1]。
输出为 1。
总结
- 暴力法：通过五重循环暴力枚举所有可能的五元组
(i, j, k, h, l)，并判断是否满足题目中的条件。 - 条件验证：确保数组元素和下标关系符合要求。
- 取模：最终返回答案时，使用取模操作
MOD来避免结果溢出。 - 复杂度：时间复杂度为 O(n^5)，对于较大输入可能需要考虑优化。
