AI刷题-目标子矩阵的数量 | 青训营笔记

问题描述

小M最近在研究矩阵，他对矩阵中的子矩阵很感兴趣。给定一个矩阵 matrix 和一个目标值 target，他的任务是找到所有总和等于目标值的非空子矩阵的数量。

子矩阵通过选择矩阵的某个矩形区域定义，形式为 (x1, y1, x2, y2)，其中 (x1, y1) 表示左上角的坐标，(x2, y2) 表示右下角的坐标。一个子矩阵包含矩阵中所有位于这个矩形区域内的单元格。如果两个子矩阵的坐标不同（如 x1 != x1' 或 y1 != y1'），则这两个子矩阵被认为是不同的。

你需要返回满足条件的子矩阵数量。

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测试样例

样例1：

输入：matrix = [[-1,1,0], [1,1,1], [0,1,0]] ,target = 0
输出：7

样例2：

输入：matrix = [[-1,-1], [-1,1]] ,target = 0
输出：2

样例3：

输入：matrix = [[-1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]] ,target = 10
输出：2

问题分析

给定一个矩阵 matrix 和一个目标值 target，我们需要找出所有满足条件的子矩阵数量。子矩阵的总和等于目标值 target。问题的关键在于如何高效地遍历所有可能的子矩阵，且求得其总和，并与目标值 target 进行比较。

子矩阵定义

• 子矩阵由矩阵中的一个矩形区域定义，通常是由 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的区域，其中 (x1, y1) 是左上角坐标，(x2, y2) 是右下角坐标。
• 目标是找出所有这些矩形区域的和为 target 的子矩阵。

思路

1. 暴力方法：

暴力方法是遍历矩阵的所有子矩阵，计算其和并与目标值比较。我们可以通过枚举所有的矩形区域，并逐一计算每个子矩阵的和。然而，直接的暴力方法会导致时间复杂度非常高，具体是 O(n^4)（假设矩阵大小为 n × n），因为我们需要枚举所有的矩形区域并计算其和。

2. 优化：

我们可以利用 前缀和 的技巧来优化子矩阵和的计算。前缀和可以帮助我们快速计算任意子矩阵的和，从而避免对每个子矩阵进行重复计算。

3. 核心优化思路：

我们将问题转化为二维数组的“一维问题”。具体步骤如下：

1. 前缀和的使用：

   • 首先，定义一个一维的前缀和数组 prefix，其中 prefix[j] 表示从矩阵的第一列到当前列的元素的和。通过前缀和可以快速计算任意矩形区域的和。

2. 求子矩阵的和：

   • 对于每一对行 i 和 j，我们可以通过固定行的范围（即 i 到 j），将问题转化为一维问题。然后，对于每列，我们只需计算该列区间的总和，再通过滑动窗口或哈希表等方法，找出和为 target 的子矩阵。

4. 具体步骤：

1. 遍历矩阵的每一对行 (i, j)。
2. 对于每一对行，计算该行之间每一列的和，并将其存入一维数组。
3. 在这个一维数组上，问题就转化为“寻找和为 target 的连续子数组”的问题。使用哈希表来记录累计和的频率，快速计算和为目标值的子数组个数。

代码实现

python
Copy code
from collections import defaultdict

def numSubmatrixSumTarget(matrix, target):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    result = 0
    
    # 遍历每对行 (i, j)
    for i in range(m):
        # 用于存储每一列的和
        col_sum = [0] * n
        # 遍历每一对行
        for j in range(i, m):
            # 更新每一列的和
            for k in range(n):
                col_sum[k] += matrix[j][k]
            
            # 使用哈希表来查找满足条件的子数组
            sum_count = defaultdict(int)
            sum_count[0] = 1  # 对应子矩阵和为0的情况
            current_sum = 0
            # 遍历当前列和的前缀和
            for s in col_sum:
                current_sum += s
                result += sum_count[current_sum - target]
                sum_count[current_sum] += 1
    
    return result

代码说明：

1. 外层循环：我们遍历每一对行 (i, j)，表示当前考虑的矩形区域的上下边界。
2. col_sum 数组：表示当前行区间内每列的累积和。对于每一对行 (i, j)，我们将从行 i 到行 j 的矩阵区域在列方向上的和累计到 col_sum 中。
3. 哈希表 sum_count：我们使用一个哈希表来存储每个前缀和出现的次数。对于每一列的和，计算当前前缀和 current_sum，然后查找是否存在前缀和 current_sum - target，如果存在，则表示有一个子矩阵的和等于 target。
4. current_sum：用于跟踪当前行区间的和。

复杂度分析：

• 时间复杂度：外层两层循环遍历所有行对 (i, j)，内层遍历列。因此时间复杂度为 O(m^2 * n)，其中 m 是行数，n 是列数。
• 空间复杂度：哈希表 sum_count 存储前缀和，空间复杂度是 O(n)。