回文字符串构造与字典序优化

学习笔记：回文字符串构造与字典序优化

一、题目概述

小C手中有一个由小写字母组成的字符串 ss，她需要构造一个回文字符串 tt，满足以下条件：

1. tt 是回文字符串，即从左到右与从右到左相同。
2. tt 的字典序要小于 ss，并且在所有符合条件的字符串中，字典序尽可能大。
3. 如果无法构造出符合条件的回文字符串，返回 -1。

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二、解题思路

1. 回文字符串的构造：

回文字符串的特点是其前半部分决定了后半部分。也就是说，如果我们确定了前半部分的字符，后半部分就可以直接对称得到。

• 例如，如果 s="abc"s = "abc"，我们可以尝试构造回文字符串 "aba"，将字符串前半部分的字符反转并作为后半部分。

2. 字典序要求：

• 我们希望 tt 的字典序尽可能大，但必须小于原字符串 ss。
• 由于回文字符串的特性，我们只需要调整前半部分的字符来满足字典序条件。通过从后向前调整字符，使其字典序尽可能大但又小于 ss。

3. 解题步骤：

1. 初步构造回文字符串：

   • 根据 ss 的前半部分构造一个回文字符串 tt，将其后半部分与前半部分对称。

2. 检查字典序：

   • 如果初步构造的回文字符串 tt 已经小于 ss，直接返回它。

3. 调整前半部分：

   • 如果初步构造的回文字符串 tt 不满足字典序小于 ss，则从后向前调整前半部分的字符。每次将字符减小并重新构造回文字符串，直到找到符合条件的结果。

4. 边界条件：

   • 如果无法调整字符（即所有字符已经是最小的字典序），返回 -1。

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三、代码实现

#include <iostream>
#include <string>

std::string make_palindrome_less_than(std::string s) {
    int n = s.size();
    std::string t = s;

    // Step 1: Construct an initial palindrome by copying the first half of s
    for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
        t[n - i - 1] = s[i];
    }

    // Step 2: Check if this palindrome is already less than s
    if (t < s) {
        return t;
    }

    // Step 3: Try to adjust the first half of the string to get the largest possible palindrome less than s
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; --i) {
        if (t[i] > 'a') {
            // Decrease the character at position i
            t[i]--;
            // Rebuild the palindrome
            for (int j = i + 1; j < n / 2; ++j) {
                t[j] = 'z'; // Maximize the characters on the right part of the palindrome
            }
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                t[n - j - 1] = t[j]; // Mirror the changes on the second half
            }
            return t;
        }
    }

    // Step 4: If no valid palindrome is found
    return "-1";
}

int main() {
    std::string s;
    std::cin >> s;

    std::string result = make_palindrome_less_than(s);
    std::cout << result << std::endl;

    return 0;
}

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代码解析：

1. 初步构造回文字符串：

   • 根据 ss 的前半部分构造回文字符串 tt。
   • 如果 tt 已经小于 ss，直接返回 tt。

2. 调整回文字符串：

   • 从回文字符串的后半部分开始，逐步减少前半部分的字符，并重新构造回文字符串，确保字典序尽可能大但小于 ss。

3. 返回结果：

   • 如果找到符合条件的回文字符串，则返回它；如果无法找到，则返回 -1。

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四、复杂度分析

时间复杂度：

• 构造回文字符串的时间复杂度是 O(n)O(n)，其中 nn 是字符串的长度。
• 调整前半部分的字符时，最坏的情况下我们需要对每个字符进行调整，时间复杂度仍为 O(n)O(n)。

因此，整体时间复杂度为 O(n)O(n) 。

空间复杂度：

• 我们仅使用了一个额外的字符串 tt 来存储回文字符串，因此空间复杂度为 O(n)O(n) 。

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五、测试样例分析

样例1：

输入：s = "abc"
输出："aba"

• 初步构造回文字符串为 "aba"，其字典序小于 "abc"，符合条件。

样例2：

输入：s = "cba"
输出："cac"

• 初步构造回文字符串为 "cbc"，字典序不小于 "cba"。调整前半部分字符得到 "cac"，符合条件。

样例3：

输入：s = "aaa"
输出："-1"

• 无法构造出符合条件的回文字符串，因为所有字符都是 'a'，已经是字典序最小。

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六、学习心得

1. 回文字符串的特性：

• 通过利用回文字符串的对称性，我们能够减少问题的复杂度，避免暴力枚举所有可能的回文字符串。

2. 字典序优化：

• 通过从后向前调整字符，确保每次修改都能使得字符串尽可能大，同时不违反字典序小于原字符串的约束。

3. 编程技巧：

• 在字符串问题中，学会合理地利用字符操作和对称性优化算法，能大幅提高效率。

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七、总结

本题考察了如何在回文字符串中进行优化，确保生成的字符串字典序尽可能大同时又满足小于原字符串的约束。通过对回文字符串的结构理解，能够有效地解决问题，并通过调整字符的方式获得最佳解。