数组元素之和的最小化 ｜ 豆包Marscode AI 刷题

题目：数组元素之和的最小化

问题描述

小C希望构造一个包含 $n$ 个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 $k$。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

理解题目

题目要求构造一个包含 $n$ 个元素的数组，满足：

• 所有元素互不相同。
• 所有元素的最大公约数为 $k$。
• 数组元素之和尽可能小。

详细解释：

1. 所有元素互不相同：

   • 数组中的每一个元素必须唯一，不能有重复的值。这意味着在构造数组时，必须确保每个选定的元素在数组中出现一次且仅出现一次。

2. 所有元素的最大公约数为 $k$：

   • 数组中所有元素的最大公约数（GCD）必须严格等于给定的 $k$。这意味着：
     • 每个元素必须是 $k$ 的倍数，即 $k$ 是这些元素的公约数。
     • $k$ 是这些元素中所有公约数的最大值，确保没有比 $k$ 更大的公共因子。

3. 数组元素之和尽可能小：

   • 在满足上述两个条件的基础上，数组中所有元素的总和应最小化。这要求选择尽可能小的数字来构造数组，同时满足元素唯一和最大公约数的条件。

进一步分析：

• 为了确保所有元素的最大公约数为 $k$，可以将每个元素表示为 $k$ 乘以另一个整数，即 $k \times x_i$，其中 $x_i$ 为正整数，且 $x_i$ 互不相同。
• 这样一来，数组的最大公约数自然为 $k$，因为 $k$ 是所有元素的公因子，并且 $x_i$ 的最大公约数为 1。
• 为了最小化总和，应该选择最小的可能的 $x_i$，即 $1, 2, 3, \ldots, n$。
• 综上所述，数组的元素可以构造为 $k, 2k, 3k, \ldots, nk$，此时总和为 $k \times \frac{n(n+1)}{2}$。

通过这样的构造方法，可以确保数组满足所有给定的条件，并且总和达到最小值。

解决思路

为了使数组元素之和最小，应该选取尽可能小的元素。同时，所有元素必须是 $k$ 的倍数，并且互不相同。因此，可以选择 $k$、$2k$、$3k$、...、$nk$ 作为数组元素，这样不仅满足所有元素是 $k$ 的倍数，而且它们的最大公约数也是 $k$。因此，最小的和为 $k \cdot \frac{n(n+1)}{2}$。

Python 代码实现

我们将我们的思路输入 marscodeAI，得到的结果如下

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 初始化数组和当前数
    current_number = k
    sum_of_elements = 0
    
    # 循环生成数组元素
    for _ in range(n):
        # 将当前数加入数组和
        sum_of_elements += current_number
        # 更新当前数为下一个 k 的倍数
        current_number += k
    
    return sum_of_elements

if __name__ == '__main__':
    print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
    print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
    print(solution(n = 4, k = 3) == 30)

Marscode给出了完整的代码，而且是完全正确的，足以体现其智能型，这对初学者是有很大帮助的