414.小U生活事件快乐值最大化
问题描述
小U喜欢分享她的日常生活。她有n个事件可以选择分享，分享第ii个事件需要花费ti的时间和hi的精力来编辑文章，并能够获得ai的快乐值。小U想知道，在总花费时间不超过T且总花费精力不超过H的前提下，她最多可以获得多少快乐值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 2 ,T = 2 ,H = 2 ,t = [1, 3] ,h = [3, 1] ,a = [3, 4]
输出：0
样例2：
输入：
n = 3 ,T = 5 ,H = 5 ,t = [2, 1, 3] ,h = [1, 3, 2] ,a = [10, 7, 8]
输出：18
样例3：
输入：
n = 1 ,T = 3 ,H = 3 ,t = [4] ,h = [4] ,a = [5]
输出：0
思路
可以看作是0/1背包问题，要在给定的时间和精力限制下，选择一组事件让总的快乐值最大化。每个事件只能选择一次，选择某个事件会消耗一定的时间和精力，并带来一定的快乐值。使用dp解决问题，义一个三维的 dp 数组来表示在给定的时间和精力限制下，能达到的最大快乐值：
dp[i][j][k]表示在前i个事件中，时间限制为j，精力限制为k时，能够获得的最大快乐值。
递推关系：
- 不选择第
i个事件：dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] - 选择第
i个事件（如果j >= t[i]且k >= h[i]）：dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j - t[i]][k - h[i]] + a[i])
初始条件：
dp[0][j][k] = 0，即没有事件时，最大快乐值为 0。
代码实现
def solution(n: int, T: int, H: int, t: list, h: list, a: list) -> int:
# 初始化三维 DP 数组，大小为 (n+1) x (T+1) x (H+1)
dp = [[[0] * (H + 1) for _ in range(T + 1)] for _ in range(n + 1)]
# 遍历每个事件
for i in range(1, n + 1):
time_required = t[i - 1] # 第 i 个事件的时间需求
energy_required = h[i - 1] # 第 i 个事件的精力需求
happiness = a[i - 1] # 第 i 个事件的快乐值
# 遍历所有可能的时间和精力组合
for j in range(T + 1):
for k in range(H + 1):
# 不选择第 i 个事件
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]
# 选择第 i 个事件，如果满足时间和精力的限制
if j >= time_required and k >= energy_required:
dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - time_required][k - energy_required] + happiness)
# 返回最大快乐值，考虑所有事件和时间精力限制
return dp[n][T][H]
问题描述
小U喜欢分享她的日常生活。她有
n
n个事件可以选择分享，分享第
i
i个事件需要花费
t
i
t
i
的时间和
h
i
h
i
的精力来编辑文章，并能够获得
a
i
a
i
的快乐值。小U想知道，在总花费时间不超过
T
T且总花费精力不超过
H
H的前提下，她最多可以获得多少快乐值。
测试样例
样例1：
输入：n = 2 ,T = 2 ,H = 2 ,t = [1, 3] ,h = [3, 1] ,a = [3, 4]
输出：0
样例2：
输入：n = 3 ,T = 5 ,H = 5 ,t = [2, 1, 3] ,h = [1, 3, 2] ,a = [10, 7, 8]
输出：18
样例3：
输入：n = 1 ,T = 3 ,H = 3 ,t = [4] ,h = [4] ,a = [5]
输出：0 py解决
2024/11/30 01:05:16
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这个问题可以看作是一个 0/1 背包问题。我们需要在给定的时间和精力限制下，选择一组事件，使得总的快乐值最大化。每个事件只能选择一次，选择某个事件会消耗一定的时间和精力，并带来一定的快乐值。
问题分析：
-
输入：
n：事件的数量。T：可用的总时间。H：可用的总精力。t[i]：第i个事件所需的时间。h[i]：第i个事件所需的精力。a[i]：第i个事件带来的快乐值。
-
输出：
- 在时间和精力的限制下，能获得的最大快乐值。
思路：
我们可以用动态规划（DP）来解决这个问题。定义一个三维的 dp 数组来表示在给定的时间和精力限制下，能达到的最大快乐值：
dp[i][j][k]表示在前i个事件中，时间限制为j，精力限制为k时，能够获得的最大快乐值。
递推关系：
- 不选择第
i个事件：dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] - 选择第
i个事件（如果j >= t[i]且k >= h[i]）：dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j - t[i]][k - h[i]] + a[i])
初始条件：
dp[0][j][k] = 0，即没有事件时，最大快乐值为 0。
Python 代码实现：
def max_happiness(n, T, H, t, h, a):
# 初始化三维 DP 数组，大小为 (n+1) x (T+1) x (H+1)
dp = [[[0] * (H + 1) for _ in range(T + 1)] for _ in range(n + 1)]
# 遍历每个事件
for i in range(1, n + 1):
time_required = t[i - 1] # 第 i 个事件的时间需求
energy_required = h[i - 1] # 第 i 个事件的精力需求
happiness = a[i - 1] # 第 i 个事件的快乐值
# 遍历所有可能的时间和精力组合
for j in range(T + 1):
for k in range(H + 1):
# 不选择第 i 个事件
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]
# 选择第 i 个事件，如果满足时间和精力的限制
if j >= time_required and k >= energy_required:
dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - time_required][k - energy_required] + happiness)
# 返回最大快乐值，考虑所有事件和时间精力限制
return dp[n][T][H]
# 测试样例
print(max_happiness(2, 2, 2, [1, 3], [3, 1], [3, 4])) # 输出: 0
print(max_happiness(3, 5, 5, [2, 1, 3], [1, 3, 2], [10, 7, 8])) # 输出: 18
print(max_happiness(1, 3, 3, [4], [4], [5])) # 输出: 0
复杂度分析：
- 时间复杂度：
O(n * T * H)，其中n是事件的数量，T是最大时间限制，H是最大精力限制。 - 空间复杂度：
O(n * T * H)，因为我们需要一个三维数组来存储状态。
优化：
如果 T 和 H 较大时，使用三维 DP 数组会导致空间复杂度过高。可以考虑将 DP 数组优化为二维数组，使用滚动数组的技巧来降低空间复杂度：
def solution(n: int, T: int, H: int, t: list, h: list, a: list) -> int:
# 初始化 DP 数组
dp = [[0] * (H + 1) for _ in range(T + 1)]
# 遍历每个事件
for i in range(n):
time_required = t[i]
energy_required = h[i]
happiness = a[i]
# 逆向遍历时间和精力，防止当前事件重复计算
for j in range(T, time_required - 1, -1):
for k in range(H, energy_required - 1, -1):
dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - time_required][k - energy_required] + happiness)
# 返回最大快乐值，考虑所有事件和时间精力限制
return dp[T][H]
这种优化方法将 空间复杂度 降低为 O(T * H)，但时间复杂度保持不变。
