问题描述
小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hNh1,h2,...,hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 kk 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。
对于 kk 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：
R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])
即，R(k)R(k) 的值为这 kk 个相邻元素中的最小值乘以 kk。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 kk，R(k)R(k) 的最大值。
要解决这个问题，我们需要找到对于每个可能的 k（1 ≤ k ≤ n），在所有长度为 k 的子数组中，计算形成的最大矩形面积。这个面积是由子数组中的最小值乘以 k 得到的。
我们可以使用滑动窗口和单调栈的方法来解决这个问题。单调栈可以帮助我们高效地找到每个窗口中的最小值。
以下是实现这个算法的步骤：
- 遍历所有可能的窗口大小
k（从 1 到n）。 - 对于每个窗口大小
k，使用单调栈找到每个窗口中的最小值。 - 计算该窗口大小下的最大矩形面积。
- 记录并更新最大面积。
下面是 Python 代码实现：
python复制代码
def maxRectangularArea(n, array):
def find_max_area_for_k(k):
stack = []
heights = []
max_area = 0
for i in range(n):
while stack and array[stack[-1]] >= array[i]:
height = array[stack.pop()]
width = i if not stack else i - stack[-1] - 1
if width >= k:
min_in_window = min(array[stack[-1] + 1:i]) if stack else min(array[:i])
max_area = max(max_area, min_in_window * k)
stack.append(i)
# Handle remaining elements in stack
while stack:
height = array[stack.pop()]
width = n if not stack else n - stack[-1] - 1
if width >= k:
min_in_window = min(array[stack[-1] + 1:n]) if stack else min(array)
max_area = max(max_area, min_in_window * k)
# Special case: k == 1
if k == 1:
max_area = max(max_area, max(array))
# But we need to check all possible subarrays of size k directly
for i in range(n - k + 1):
min_in_window = min(array[i:i + k])
max_area = max(max_area, min_in_window * k)
return max_area
# Find max area for all possible k
max_overall_area = 0
for k in range(1, n + 1):
max_overall_area = max(max_overall_area, find_max_area_for_k(k))
return max_overall_area
# Test cases
print(maxRectangularArea(5, [1, 2, 3, 4, 5])) # Output: 9
print(maxRectangularArea(6, [5, 4, 3, 2, 1, 6])) # Output: 9
print(maxRectangularArea(4, [4, 4, 4, 4])) # Output: 16
注意事项
- 单调栈方法：我们尝试使用单调栈来优化寻找每个窗口最小值的过程，但直接应用单调栈在这个问题上有些复杂，因为我们需要处理所有可能的
k值。 - 直接计算：为了简化，上述代码在
find_max_area_for_k函数中最后部分直接计算了所有长度为k的子数组的最小值并更新了最大面积。这部分可以优化，但直接计算能确保正确性。 - 性能：上述实现的时间复杂度较高，为 O(n^3)（在最坏情况下，因为我们需要对每个
k值都遍历所有可能的子数组）。如果数组长度n较大，可能需要进一步优化。
在实际应用中，对于较大的 n，可能需要进一步优化算法以减少时间复杂度。
